Forze di inerzia - Rocchetto di filo appeso al soffitto di un ascensore in accelerazione verso l'alto.

[Portanza]

un ascensore si muove con accelerazione costante $a_0$ diretta verso l'alto. al suo interno, al soffitto è agganciato tramite un filo il rocchetto indicato in figura. Il filo è avvolto per molti giri al raggio esterno del rocchetto. All'estremo di un secondo filo, avvolto per molti giri al raggio interno, è appeso un corpo di massa $m_1$, Siano m,I, r, R rispettivamente la massa, il momento di inerzia rispetto all'asse passante per C (Centro e centro di massa del rocchetto) e il raggio interno ed esterno del rocchetto. Determinare: l'accelerazione del CM rispetto all'ascensore, l'accelerazione angolare e le tensioni dei fili.

Cattura.PNG

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Mi dite se e cosa baglio nel procedere come segue?

$-T+ma_0+mg+m_1g=0$ tenendo conto della forza di inerzia applicata al centro di massa e di verso opposto ad $a_0$
$T*R+m_1g*r=I*alpha$ equazione di rotazione nel sistema non inerziale
$a_(cm)=....$

da cui ricaviamo prima T, poi $a_cm$ e poi $alpha$.

[professorkappa]

D'acchito, nella prima manca l'accelerazione del cm relativa all'ascensore

[Portanza]

Potresti riportarmi per favore l'equazione corretta?
la terza dovrebbe essere $a_(cm)=alpha*R$ come se il centro di massa ruotasse istantaneamente intorno al punto di tangenza col filo che collega il rocchetto con l'ascensore?

[professorkappa]

Per risolvere questi problemi e' di fondamentale importanza definire i sistemi di riferimento. Senza quelli si rischia di commettere errori.
Inoltre, normalmente e' piu' facile, almeno per come ragiono io, mettersi in un sdr assoluto. Se vuoi rsolverlo usando le forze apparenti, ecco come procederei:
Il sdr che scelgo io e' solidale all'ascensore, con l'origine nel soffitto e asse verticale $y$ rivolto verso il basso. Le rotazioni del rocchetto sono positive quando sono orarie.
Il rocchetto ha massa $m_d$ e il peso massa $m_p$.
La tensione del filo del peso e' $T_p$ e quella del filo che collega il rocchetto al soffitto dell ascensore e' $T_d$

Sul peso agiscono: la forza peso, la tensione $T_p$ e la forza di apparente.
Per come ho scelto il sistema, l'eq. cardinale si scrive:

$m_pg-T_p+m_pa_0=m_pddot[y_p]$ dove $ddot[y_p]$ e' l'accelerazione relativa del peso (rispetto all' ascensore)

Analogamente, sul rocchetto:

$m_dg+m_da_0+T_p-T_d=m_dddot[y_d]$

Abbiamo 4 incognite (le 2 tensioni e le accelerazioni relative dei corpi): ci servono altre 2 equazioni.
Un'equazione la troviamo tramite i momenti: considerando che il punto di avvolgimento del filo sul rocchetto e' un punto di istantanea rotazione, possiamo scrivere

$m_dgR+m_da_0R+T_p(R+r)=Iddottheta$ dove $I$ e' il mom. di inserzia del rocchetto rispetto al punto di istantanea rotazione (non rispetto al centro di massa del rocchetto).
Abbiamo aggiunto un'equazione, ma anche una quinta incognita (la $ddottheta$), quindi abbiamo ancora bisogno di 2 ulteriori equazioni. Siccome le equazioni cardinali della dinamica si sono "esaurite", le abbiamo usate tutte, cerchiamo di capire le relazioni cinematiche tra i corpi.

Il CM del rocchetto e' soggetto alla relazione $y_d=Rtheta$, da cui, subito si ha

$ddoty_d=Rddottheta$ quarta equazione cercata

Il peso soddisfa la relazione: $y_p=y_d+rtheta$, da cui $ddoty_p=ddoty_d+rddottheta$, ovvero $ddoty_p=Rddottheta+rddottheta$ e quindi

$ddoty_p=(R+r)ddottheta$ che e' la quinta equazione.

Il sistema, risolto, ti da' tutto quello che cerchi

[Portanza]

fantasticamente chiaro, grazie infinite.
Quindi quando lavoro con le forze apparenti e mi pongo su un rigido in movimento rispetto al sdr mobile, oltre a considerare la forza apparente (con accelerazione opposta a quella del sdr non inerziale/in movimento) devo anche uguagliare non a zero, ma ad alla massa del rigido per un'accelerazione relativa, cioè continuo a scrivere l'equazione del moto ma così: $"forze vere" + "forza apparente"=ma' = "forza di inerzia"$

Esaurite le equazioni del moto analizzo la cinematica e cerco di tirarne fuori ulteriori relazioni che mi risolvano il sistema.
Dico bene?

Un'osservazione: hai scelto come polo di rotazione l'asse di istantanea rotazione.
Avrei potuto considerare il centro di massa del rocchetto e scrivere così $T_P*r+T_D*R=I*alpha$ senza preoccuparmi di dover calcolare il nuovo momento di inerzia?

Ed infine: l'accelerazione del CM lo trovo come rotazione rigida del CM rispetto al centro di istantanea rotazione ma solo perchè come polo hai scelto questo punto?

Cioè se avessi scelto come polo il CM, le relazioni cinematiche sarebbero state calcolate rispetto al CM giusto?
$a'_D=alpha*R$
$a'_P=alpha*r$

L'alpha nel sdr non inerziale e nel sistema assoluto coincidono? Si perchè gli assi tra loro non ruotano?
L'accelerazione del CM nel sdr assoluto è $a_(CM)=a'_(CM)+a_0$?

[professorkappa]

fantasticamente chiaro, grazie infinite.
Quindi quando lavoro con le forze apparenti e mi pongo su un rigido in movimento rispetto al sdr mobile, oltre a considerare la forza apparente (con accelerazione opposta a quella del sdr non inerziale/in movimento) devo anche uguagliare non a zero, ma ad alla massa del rigido per un'accelerazione relativa, cioè continuo a scrivere l'equazione del moto ma così: $"forze vere" + "forza apparente"=ma' = "forza di inerzia"$

Non capisco bene cosa intendi, e l'ultima frase scritta non e chiara.
Se il corpo si muove rispetto al sdr non inerziale (non semplicemente "mobile", ma mobile E accelerato), avra', in generale, una accelerazione relativa a quel sdr.
Quindi, se scelgi come sdr quello non itnerziale, l'equazione si scrive cosi:
$"forze vere + forza apparente = m * [acc. relativa]"$ che NON e' uguale alla forza di inerzia! Quella e' la forza apparente che appare a primo membro.

Esaurite le equazioni del moto analizzo la cinematica e cerco di tirarne fuori ulteriori relazioni che mi risolvano il sistema.
Dico bene?

Si. A volte viene naturale, a volte, come in questo caso, le relazioni cinematiche sono un po' piu' complesse, ma normalmente non e' difficile scriverle. Pero' il metodo e' piu' praticabile se si seguono questi passi in sequenza (o, almeno, cosi mi ha abituato il mio mentore).
1 - Scegliere il sistema di riferimento e definire i versi degli assi e delle rotazioni
2 - Capire quante incognite descrivono la posizione di ogni corpo (si dice che si determinano i gradi di liberta' del sistema)
3 - Si cercano le relazioni cinematiche che legano queste posizioni l'una con l'altra. Nel tuo esercizio, il grado di liberta' era uno solo. Siccome ci sono 3 incognite a descrivere la posizione del sistema (la posizione del CM del rocchetto, la sua rotazione, e la posizione del pesetto), vuol dire che esistono 2 relazioni cinematiche. Ora non so a che punto sei con gli studi, e spero che quest'ultimo punto non ti abbia confuso.
4 - Si scrivono le equazioni cardinali della dinamica.

Un'osservazione: hai scelto come polo di rotazione l'asse di istantanea rotazione.
Avrei potuto considerare il centro di massa del rocchetto e scrivere così $T_P*r+T_D*R=I*alpha$ senza preoccuparmi di dover calcolare il nuovo momento di inerzia?

Si. Ma come vedi, ti ri-appare nell'equazione un'incognita, il che ti rende piu' difficile la risoluzione del sistema. La scelta dell'asse di rotazione invece elimina l'incognita $T_d$. E' bene cercare di snellire il sistema se si puo'.

Ed infine: l'accelerazione del CM lo trovo come rotazione rigida del CM rispetto al centro di istantanea rotazione ma solo perchè come polo hai scelto questo punto?

Vale in generale, e' una relazione cinematica indipendente dalla scelta del polo. Vale qualsiasi polo tu scelga, con le dovute differenze geometriche.

Cioè se avessi scelto come polo il CM, le relazioni cinematiche sarebbero state calcolate rispetto al CM giusto?
$a'_D=alpha*R$
$a'_P=alpha*r$

No. Le relazioni cinematiche sono indipendenti dalla scelta del polo, dipendono solo da com'e' configurato fisicamente il sistema: la presenza di pulegge, cavi, rocchetti, piani, la presenza o meno di rotolamento puro o con strisciamento definiscono le relazioni cinematiche.
La scelta del sdr e dei poli cambiano la forma delle sole equazioni cardinali (ma, ovviamente, non la sostanza)

L'alpha nel sdr non inerziale e nel sistema assoluto coincidono? Si perchè gli assi tra loro non ruotano?

Si, la rotazione di un corpo e' indipendente dal sistema di riferimento (qui Vulplaisir potrebbe elaborare sul concetto di velocita' angolare come ha fatto in altri post)

L'accelerazione del CM nel sdr assoluto è $a_(CM)=a'_(CM)+a_0$?

[/quote]
Si. Questa e' l'equazione fondamentale che regge lo studio dei sistemi non inerziali: in forma vettoriale, l'accelerazione di un punto di un corpo e' data dalla somma dell'accelerazione di trascinamento e dell'accelerazione che il corpo ha nel sistema di riferimento non inerziale. Va aggiunta, nel caso in cui il sdr non inerziale ruoti, l'accelerazione di Coriolis.
In questo caso l'ascensore accelera senza ruotare, quindi non esiste il termine di Coriolis.

[Portanza]

Non capisco bene cosa intendi, e l'ultima frase scritta non e chiara.
Se il corpo si muove rispetto al sdr non inerziale (non semplicemente "mobile", ma mobile E accelerato), avra', in generale, una accelerazione relativa a quel sdr.
Quindi, se scelgi come sdr quello non itnerziale, l'equazione si scrive cosi:
$"forze vere + forza apparente = m * [acc. relativa]"$ che NON e' uguale alla forza di inerzia! Quella e' la forza apparente che appare a primo membro.

riscrivo: $"forze vere/attive"+"forze apparenti/di inerzia"=ma' "(..forza relativa..??)"$

3 - Si cercano le relazioni cinematiche che legano queste posizioni l'una con l'altra. Nel tuo esercizio, il grado di liberta' era uno solo. Siccome ci sono 3 incognite a descrivere la posizione del sistema (la posizione del CM del rocchetto, la sua rotazione, e la posizione del pesetto), vuol dire che esistono 2 relazioni cinematiche. Ora non so a che punto sei con gli studi, e spero che quest'ultimo punto non ti abbia confuso.

per il solo rocchetto ho bisogno di un punto (nel piano 2 incognite) ed un angolo, + la posizione del mesetto, ovvero 5 incognite in tutto no?
Mi aiuti a capire le incognite? Per me erano le 2 tensioni, 2 accel. lineari a 1 accel angolare.

Si. Ma come vedi, ti ri-appare nell'equazione un'incognita, il che ti rende piu' difficile la risoluzione del sistema. La scelta dell'asse di rotazione invece elimina l'incognita $T_d$. E' bene cercare di snellire il sistema se si puo'.

$T_D$ compariva anche nella tua prima relazione, non è un'incognita aggiuntiva.
Per quanto riguarda le accelerazioni non dipendenti dai poli, scrivere $alphaR$ e scrivere $alpha(R+r)$ è differente. Quindi come capisco qual'è giusta utilizzare? Quella che tiene conto della distanza dal centro di istantanea rotazione o dal CM?

il mondo con tanti professorkappa sarebbe migliore, grazie ancora.

ps sono al secondo anno di ing. meccanica.

[professorkappa]

Ok, grazie, ma come me e meglio di me in questo sito ce n'e' tanti.

Riorganizziamo le idee:

La questione relazioni cinematiche:

Tutto si muove lungo un asse, quindi anche se siamo in un piano, possiamo ridurci subito ad una retta, tagliando un po' di incognite.
Il rocchetto ha 2 gradi di liberta', poiche', in generale, ogni punto del rocchetto puo' essere individuato tramite un punto qualsiasi (che e' 1 gdl, e cioe' la posizione del punto stesso lungo y) e una rotazione attorno a questo punto (un'altra incognita, la seconda fino a ora).

Il peso, dal canto suo, ha, in generale, 1 grado di liberta: la posizione del suo CM sull'asse y e' la scelta naturale e rappresenta la terza incognita (il peso e' un punto materiale in questo esercizio, non occorre parlare di CM del peso)

Quindi hai 3 gradi di liberta', ovvero 3 incognite.
Cerchiamo le relazioni cinematiche che possano diminuire questi gradi di liberta.

L'avvolgimento senza strisciamento della corda sul rocchetto (quella attaccata al soffitto) toglie 1 gdl.
L'avvolgimento della corda che regge il peso ne toglie un altro.

Hai cominciato con 3 gdl, la configurazione fisica del sistema (le relazioni cinematiche) ne tolgono 2, quindi hai 1 grado di liberta. Il che significa una sola incognita. Siccome ne avevi 3 all'inizio, questo ti assicura l'esistenza di 2 relazioni cinematiche, in modo da avere un sistema di 2 incognite in 3 equazioni che si risolve lasciando una sola incognita libera (e' piu' complicato a spiegarsi che a farsi)

Per scrivere le equazioni ci sono diversi modi (o meglio, non ci sono metodi, bisogna smaliziarsi a forza di esercizi per trovarli senza difficolta').

Io mi trovo bene usando i punti notevoli, cioe' quelli che mi hanno permesso di ridurre i gdl.

Per il rocchetto, il punto di avvolgimento della corda di sostegno al soffitto
Per il peso, il punto di avvolgimento del filo del peso stesso.

Rocchetto:
Siccome il punto di avvolgimento e' un punto istantaneamente fermo, posso scrivere che $y_D=Rtheta$

Peso
Il disco interno del rocchetto svolge il filo in ragione di $rtheta$, rilasciando il peso di egual misura. Ma siccome anche $y_D$ si sta muovendo, devo aggiungercelo, per cui $y_p=y_D+rtheta$

Quindi
$y_D=Rtheta$
$y_P=Rtheta+rtheta=(R+r)theta$

Alternativamente, questo punto puo essere visto come movimento rigido, a distanza $(R+r)$ dal punto di avvolgimento del rocchetto dalla corda sulla corda attaccata al soffitto e scrivere direttamente $y_P=(R+r)theta$.

Quale che sia, hai descritto la posizione del centro di massa del rocchetto e quella del pesetto in funzione di UNA sola incognita: la rotazione $theta$ (incognita "principale", per cosi dire, ma sono parole mie, non le usare all'esame. Ti verra' spiegato in seguito che $theta$ e' una coordinata lagrangiana).
Attento: sono e restano comunque sempre 3 incognite, eh? Almeno fino a che non determini $theta$!

Le incognite dinamiche sono le tensioni, che sono 2, per un totale, tra incognite cinematiche e dinamiche, di 5 in tutto.
Due equazioni ce le hai sopra, te ne mancano 3, che sono:
1 - Equazione delle forze al rocchetto
2 - Equazione delle forze al pesetto
3 - Equazione ai momenti del rocchetto (scelta del polo arbitraria, e sfrutteremo questa arbitrarieta' che la Fisica ci concede per una scelta possibilmente furba).

Per non riscrivere le equazioni come ho fatto nell'altro post, mi metto in un sistema di riferimento assoluto, cosi vedi anche quello. L'asse y (ora fermo e non piu' solidale con l'ascensore) e' sempre rivolto verso il basso. Le equaz. 1 e 2 saranno del tipo $"risultante forze esterne"=m*(a_r+a_t)$ con $a_r$ e $a_t$ rispettivamente accelerazione relativa e di trascinamento.

Equazione 1
$m_dg+T_p-T_d=m_d(ddoty_D-a_0)$

Equazione 2
$m_pg-T_p=m_p(ddoty_p-a_0)$

Equazione 3.
Scelta del polo:
Qui ci sono 3 poli "naturali" da scegliere: (1) Il punto di avvolgimento del rocchetto (2) il CM del rocchetto e (3) il punto di avvolgimento del peso sul rocchetto.
Ogni altro punto e' da scemi.

E qui torno alla tua obiezione:"$T_D compariva anche nella tua prima relazione, non è un'incognita aggiuntiva.:

Vero. Allora faccio come dici tu, e scelgo il punto (2) per scrivere l'equazione dei momenti, ricordando verso positivo orario:

$T_dR+T_pr=I_0ddottheta$ con I mom. di inerzia baricentrale del rocchetto. Qui ri-compaiono 2 incognite (anzi 3, se conti anche l'incognita "principale" $ddottheta$)

Ora invece scelgo invece il punto (3) (nell'altro post avevo scelto (1), per cui ora cambio per puro scopo didattico).

$T_d(R+r)-m_dgr=I_1ddottheta$ con $I_1=I_0+m_dr^2$ per via di Huygens Steiner.

Una vale l'altra, per via dell'arbitrarieta' della scelta del polo. Ma nella seconda equazione ri-compare UNA sola incognita (ignorando l'incognita principale).

Il che significa che e' immediatamente nota $T_d$ in funzione dell'incognita principale: il sistema e' di piu' facile risoluzione perche, di fatto, hai gia risolto una delle equazioni che lo compongono.

Conviene quasi sempre (direi sempre, ma a volte, anche se raramente, ti si complicano altri calcoli) scegliere come polo uno di quelli giacenti sulla retta d'azione di una forza incognita in modo da eliminarla da quell'equazione.

Anche il polo 1 e' una scelta furba:
$m_dgR+T_p(R+r)=I_2ddottheta$ con $I_2=I_0+m_dR^2$
Come vedi, anche qui hai una sola incognita in funzione di $ddottheta$

Quindi per concludere, hai un sistema relativamente semplice composto dalle seguenti equazioni:
$ { ( ddoty_D=Rddottheta ),( ddoty_P=(R+r)ddottheta
),( m_dg+T_p-T_d=m_d(ddoty_D-a_0) ),( m_pg-T_p=m_p(ddoty_p-a_0) ),( T_d(R+r)-m_dgr=I_1ddottheta ):} $

(naturalmente le prime 2 equazioni sono state derivate 2 volte e la quinta equazione e' scelta a caso tra le 2 equazioni di momento - quelle furbe).

Per chiudere: quando scrivi $"forze vere/attive"+"forze apparenti/di inerzia"=ma' "(..forza relativa..??)"$ non e' corretto. Non esiste una forza relativa. E' solo massa per accelerazione relativa, analogamente a quando scrivi F=ma: lo leggi "forza uguale massa per accelerazione", non "forza uguale forza".

Spero di essere stato chiaro, perdona la pedanteria, ma e' difficile spiegare questi concetti tramite un post. A voce, in 3 minuti, te lo avrei spiegato anche meglio.

[Portanza]

Ok, grazie, ma come me e meglio di me in questo sito ce n'e' tanti.

Riorganizziamo le idee:


La questione relazioni cinematiche:

....

L'avvolgimento senza strisciamento della corda sul rocchetto (quella attaccata al soffitto) toglie 1 gdl.
L'avvolgimento della corda che regge il peso ne toglie un altro.

Abbiamo in sostanza due vincoli di contatto puntiformi, esattamente due coppie cinematiche superiori.

Hai cominciato con 3 gdl, la configurazione fisica del sistema (le relazioni cinematiche) ne tolgono 2, quindi hai 1 grado di liberta. Il che significa una sola incognita. Siccome ne avevi 3 all'inizio, questo ti assicura l'esistenza di 2 relazioni cinematiche, in modo da avere un sistema di 2 incognite in 3 equazioni che si risolve lasciando una sola incognita libera (e' piu' complicato a spiegarsi che a farsi)

Per scrivere le equazioni ci sono diversi modi (o meglio, non ci sono metodi, bisogna smaliziarsi a forza di esercizi per trovarli senza difficolta').

Io mi trovo bene usando i punti notevoli, cioe' quelli che mi hanno permesso di ridurre i gdl.

il tuo metodo mi sembra perfetto e mi garba, sarà il mio

Rocchetto:
Siccome il punto di avvolgimento e' un punto istantaneamente fermo, posso scrivere che $y_D=Rtheta$

Peso
Il disco interno del rocchetto svolge il filo in ragione di $rtheta$, rilasciando il peso di egual misura. Ma siccome anche $y_D$ si sta muovendo, devo aggiungercelo, per cui $y_p=y_D+rtheta$

Quindi
$y_D=Rtheta$
$y_P=Rtheta+rtheta=(R+r)theta$

Alternativamente, questo punto puo essere visto come movimento rigido, a distanza $(R+r)$ dal punto di avvolgimento del rocchetto dalla corda sulla corda attaccata al soffitto e scrivere direttamente $y_P=(R+r)theta$.

scrivendo

$y_D=Rtheta$
$y_P=Rtheta+rtheta=(R+r)theta$

hai praticamente scritto

$y_P$ come $y_D "trascinamento/spostamento del cm del rocchetto" + "lo spostamento del secondo punto di contatto (quello con pesetto) rispetto al cm del rocchetto"$.

Mi chiedo: è corretta la relazione

$ddot[y_(P)]=a0 " di trascinamento del punto di contatto a sx" + ddot[y_(dx)] "accel rispetto al punto di contatto a sx"$?

E' chiarissimo, ma bisogno prenderci la mano ed essere cauti, è facile che sfugga qualcosa.

... e' una coordinata lagrangiana).

che curiosità... ma in quale materia lo saprò? Io temo che non lo saprò "mai".

Attento: sono e restano comunque sempre 3 incognite, eh? Almeno fino a che non determini $theta$!

cioè dici che restando con un grado di libertà cinematica, se non assegno un angolo non posso descrivere l'atto di moto?

...


Spero di essere stato chiaro, perdona la pedanteria, ma e' difficile spiegare questi concetti tramite un post. A voce, in 3 minuti, te lo avrei spiegato anche meglio.

Io non ho parole. Se solo avessi avuto un prof così chiaro non avrei avuto le difficoltà che ho avuto con fisica1.
Ho avuto difficoltà su questo esercizio e volevo chiarire.
Non so come ringraziarti.

[Vulplasir]

Abbiamo in sostanza due vincoli di contatto puntiformi, esattamente due coppie cinematiche superiori

Hai fatto meccanica applicata e non hai ancora dato fisica 1? ma in quale università è legale questa cosa? Lo dico perché in meccanica applicata si fa ampiamente uso delle "forze d'inerzia", di cui quasi nessuno conosce il significato, e la questione è abbastanza delicata (infatti un esercitatore di meccanica applicata da me invece di scrivere $F=ma$ oppure $F+F_( i n)=0$, scriveva $F+ma=0$, dopo avergli fatto notare che, è $F-ma=0$ non $F+ma=0$, mi dice che questo è il principio di d'alambert in meccanica lagrangiana, che noi forse non abbiamo fatto...io gli dico che il principio di d'alambert lo conosco meglio di lui, e mi tocca andare a prendere un libro di meccanica razionale nella biblioteca per farglielo capire...)
Infatti nel tuo titolo parli di forze d'inerzia, e giustamente sbagli ad applicare la seconda cardinale rispetto a un sistema mobile, quindi se vuoi imparare come applicare le leggi della dinamica, evita quello che ti dicono i prof. di meccanica applicata.

Si, la rotazione di un corpo e' indipendente dal sistema di riferimento (qui Vulplaisir potrebbe elaborare sul concetto di velocita' angolare come ha fatto in altri post)

Non mi tentare
Non è verissimo, la velocità angolare è la stessa rispetto a sdr che non ruotano tra loro, in questo caso l'ascensore trasla rispetto a un sdr fisso, quindi gli angoli misurati sull'ascensore e sul fisso sono gli stessi. Quando un sdr mobile sta ruotando, allora le velocità angolari si compongono nello stesso modo delle velocità, ossia $omega_(ass)=omega_(rel)+omega_(tr)$, da cui si vede che se il sistema mobile trasla soltanto oppure è fisso, allora $omega_(tr)=0$ e quindi $omega_(ass)=omega_(rel)$.

che curiosità... ma in quale materia lo saprò? Io temo che non lo saprò "mai".

Si fa in "meccanica razionale", se non la fate non sai che ti sei perso