Problemi con il calcolo dell'induzione dielettrica

[cozzaciccio]

Salve a tutti mi trovo ad affrontare grandi dubbi e perplessità per quanto riguarda gli esercizi sul calcolo dell'induzione dielettrica ( così è indicata sul mio libro) anche se forse molti la conosceranno come induzione elettrica, ma il simbolo rimane pur sempre $ vec D $.
Di seguito scriverò un problema che spero mi possiate spiegare, poichè ho molti dubbi.
il testo è il seguente :
Una sfera conduttrice di raggio $ R_1 10^-2 m $ possiede una carica $q = 6*10^-8 C$ ed è circondata da
un involucro sferico di dielettrico non omogeneo di raggio interno $R_1$ e raggio esterno $R_2 = 3*10^-2 m$ . La
costante dielettrica relativa dell'involucro è $k(r) = c/r^2$ dove r è la distanza dal centro della sfera e $c = 9*10^-4 m^2$
a) Determinare i campi in tutto lo spazio e le densità di carica di polarizzazione (superficiale e
di volume) verificando la neutralità del dielettrico.
b) Calcolare l'energia elettrostatica del sistema.

Per quanto riguarda il mio svolgimento, avevo pensato di considerare una superficie $ Sigma $ avente raggio $r$ tale che
- $r<R_1$
- $R_1<=r>=R_2$
- $r>R_2$
E applicare la legge di Gauss :
$\int_Sigma vecD d vecSigma = q_Sigma^l$
Dove $ q_Sigma^l $ è la carica libera contenuta dalla sfera $ Sigma $ e che varia in base al caso in cui mi trovo.
Sperando di aver fatto un ragionamento corretto, inizio con il primo caso :
-$ r< R_1 $
Qui deduco subito che la carica essendo contenuta nell'intercapedine tra $ R_1$ e $R_2$ deve essere "nulla", quindi
$ D = 0 $

passo a :
- $R_1<=r<=R_2$
e qui mi blocco, in quanto so che qui si trovi la carica $q_Sigma^l$, ma non so proprio come calcolarla.

Allora cerco nel libro e trovo un caso simile ma non uguale in cui considera $q_Sigma^l$ come se si trovasse nel centro della sfera interna, arrivando alla conclusione che :
$ D = Q / (4pir^2) $
E la cosa ha creato in me molti dubbio, facendomi bloccare,avevo pensato di scrivere tale carica in funzione di $k(r)$ sotto forma integrale, ma non saprei da dove iniziare.
Detto ciò, potreste dirmi se il ragionamento da me fatto sia corretto, ed eventualmente aiutarmi a superare questi dubbi su questo caso?

[Vulplasir]

Nel calcolo del flusso di $D$ ci serve solo la carica libera contenuta nella superficie considerata, in un dielettrico non c'è carica libera.

[cozzaciccio]

Nel calcolo del flusso di $D$ ci serve solo la carica libera contenuta nella superficie considerata, in un dielettrico non c'è carica libera.

Allora perchè $ D $ in $ R_1<=r<=R_2 $ ha quel valore se non c'è carica libera ma solo polarizzata?
E poi, per il resto secondo te l'ho svolto nel modo giusto o qualche mio ragionamento è sbagliato?