L'argomento è la determinazione dell'energia potenziale dal periodo delle oscillazioni.
Vi riporto integralmente il testo:
Vediamo fino a che punto è possibile ristabilire la forma $U(x)$ dell'energia potenziale del campo nel quale una particella compie un moto oscillatorio, partendo dalla conoscenza della dipendenza del periodo $ T $ dall'energia $ E $.
Da un punto di vista matematico si tratta di risolvere l'equazione integrale:
$T(E)=\sqrt{2m}\int_{x_1(E)}^{x_2(E)}\frac{dx}{\sqrt{E-U(x)}}$ (11,5)
nella quale $U(x)$ è considerata funzione incognita, e $T(E)$ funzione nota. Supponiamo a priori che la funzione cercata $U(x)$ abbia un solo minimo nella regione considerata dello spazio, e non prendiamo in considerazione la questione dell'esistenza di soluzioni dell'equazione integrale che non soddisfino la nostra condizione. Per ragioni di comodità scegliamo come origine delle coordinate il punto in cui l'energia potenziale è minima, ponendo il valore di quest'ultima in questo punto uguale a zero (fig. 7). Trasformiamo l'integrale (11,5), considerando in esso la coordinata $x$ quale funzione di $U$. La funzione $x(U)$ non è biunivoca: a ciascun valore dell'energia potenziale corrispondono due valori differenti di x. Di conseguenza, l 'integrale (11,5), nel quale sostituiamo $dx$ con $\frac{dx}{dU}dU$, diventa una somma di due integrali: da $x=x_1$ ad $x=0$, e da $x=0$ ad $x=x_2$; indicheremo la dipendenza di $x$ da $U$ in queste due regioni rispettivamente con $x=x_1(U)$ ed $x=x_2(U)$. Gli estremi di integrazione in $dU$ saranno evidentemente, E e 0, e di conseguenza otteniamo:
$T(E)=\sqrt{2m}\int_{0}^{E}\frac{dx_2(U)}{dU}\frac{dU}{\sqrt{E-U}}+\sqrt{2m}\int_{E}^{0}\frac{dx_1(U)}{dU}\frac{dU}{\sqrt{E-U}}= $
$ = \sqrt{2m}\int_{0}^{E}[\frac{dx_2(U)}{dU}-\frac{dx_1(U)}{dU}]\frac{dU}{\sqrt{E-U}} $
Dividendo i due membri di questa uguaglianza per $\sqrt{\alpha-E}$, dove $\alpha$ è un parametro, e integrando rispetto a $E$ da 0 ad $\alpha$, abbiamo:
$ \int_{0}^{\alpha}\frac{T(E)dE}{\sqrt{\alpha-E}}=\sqrt{2m}\int_{0}^{\alpha}\int_{0}^{E}[\frac{dx_2(U)}{dU}-\frac{dx_1(U)}{dU}]\frac{dUdE}{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}} $ (1)
ossia, cambiando l'ordine d'integrazione:
$ \int_{0}^{\alpha}\frac{T(E)dE}{\sqrt{\alpha-E}}=\sqrt{2m}\int_{0}^{\alpha}[\frac{dx_2(U)}{dU}-\frac{dx_1(U)}{dU}]dU\int_{U}^{\alpha}\frac{dE}{\sqrt{(\alpha-E)(E-U)}} $ (2)
L'integrale in $dE$ è elementare e risulta uguale a $\pi$. Dopo di che l'integrazione in $dU$ diventa banale e dà:
$ \int_{0}^{\alpha}\frac{T(E)dE}{\sqrt{\alpha-E}}=\pi\sqrt{2m}[x_2(\alpha)-x_1(\alpha)] $
(si è tenuto conto che $x_2(0)=x_1(0)=0$). Sostituendo ora la lettera $\alpha$ con $U$ troviamo infine:
$x_2(U)-x_1(U)=\frac{1}{\pi\sqrt{2m}}\int_{0}^{U}\frac{T(E)dE}{\sqrt{U-E}} $
Ora, dando per buona l'equazione (11,5) dimostrata precedentemente, a me non è chiaro per nulla il passaggio dall'equazione (1) all'equazione (2), proprio non ho capito cosa succede nella separazione dell'integrale doppio, e soprattutto perché c'è quello strano cambio di estremi di integrazione (probabilmente non mi è chiaro qual è l'insieme dei valori sul quale stiamo integrando, perciò non riesco a capire molto bene quello che succede)... qualcuno potrebbe aiutarmi? Grazie.
