calcolare il numero dei giri

[spazio_tempo]

Un orologio viene messo dentro ad una centrifuga.

Dopo un ora esatta, la centrifuga viene spenta e l'orologio è indietro di 1 secondo.

Calcolare il numero dei giri della centrifuga durante quell'ora.

Come si fa ?
Io non so neanche da che parte cominciare.

[mgrau]

Se è un problema di relatività generale, suppongo che tu debba trovare qual è l'accelerazione gravitazionale necessaria per rallentare il tempo di 1/3600, e poi trovare il numero di giri che realizza questa accelerazione. Mi pare però che ci vorrebbe anche il raggio della centrifuga...

[Shackle]

Il problema del disco rotante in relatività è ancora non del tutto risolto. Ho cercato con Google "rotating disc relativity" , ed ho trovato questa pagina di articoli, libri e trattazioni accademiche sull'argomento.
Fu Ehrenfest a porre inizialmente il paradosso, lo si trova tra gli scritti linkati . Segnalo in particolare questo articolo di Rizzi e Ruggero , che fa anche un po' di storia del problema, il quale coinvolge vari aspetti della relatività ristretta e generale.
La geometria dello spaziotempo , nel disco in rapida rotazione , non è euclidea . Numerosi relativisti hanno affrontato la questione, giungendo a volte a risultati contrastanti .
Perciò , pensare di risolvere il problemino posto con una formuletta di relatività ristretta è , IMHO, del tutto fuori luogo. Io lo lascerei perdere.

[mgrau]

Non ne so niente di relatività generale, beninteso, e anche poco di quella ristretta, ma non mi sembra che qui si stia parlando del paradosso di Eherenfest,
Mi sembra che qui si tratta di un orologio che si trova in un sistema di riferimento accelerato; l'orologio si può intendere puntiforme, per cui mi pare che il fatto che l'accelerazione sia ottenuta con una rotazione non abbia importanza.
Non si può applicare il principio di equivalenza, e concludere che l'orologio rallenta nello stesso modo che se si trovasse in un campo gravitazionale?

[Shackle]

Se si vuole abbozzare una idea di soluzione , bisogna innanzitutto fare un ipotesi semplificativa. Si deve supporre che la centrifuga rimanga perfettamente rigida anche ad elevata velocità e non vada in pezzi. Questa è una semplificazione molto marchiana , perchè il corpo rigido non esiste in relatività , e secondo il paradosso di Ehrenfest la circonferenza dovrebbe essere maggiore di $2\piR $ .
Comunque, assumendola vera, mettiamo al centro della centrifuga un orologio, che non ruota e quindi segna il tempo "coordinato " $t$ , che è quello misurato da un osservatore esterno . Mettiamo un orologio alla periferia della centrifuga , cioè al raggio $R$ , che peraltro qui non è noto . Questo orologio segna il tempo "proprio" $\tau$.

Quando la centrifuga ruota con velocità angolare $omega$ , ci sono due effetti, che agiscono in maniera opposta sul tempo segnato dall'orologio in moto . Un effetto fa capo alla relatività ristretta , supponendo (altra semplificazione, perchè chiaramente il riferimento in cui si trova l'orologio in moto non è inerziale) di poter applicare la RR all'orologio in moto con velocità periferica $v = omega R $ ; esso rallenta rispetto all'orologio fisso , e il rallentamento si può esprimere in funzione del fattore $gamma = (1-v^2/c^2)^(-1/2) = (1-(omegaR)^2/c^2)^(-1/2) $ , scrivendo :

$\Deltat = gamma\Delta\tau $

Se sono noti $\Deltat$ e $Delta\tau $ ,si può determinare il fattore $gamma$ e quindi calcolare la velocità $v = omegaR$ .

Ma c'è un altro effetto, come hai pensato tu . L'orologio si trova in un potenziale centrifugo crescente dal centro alla periferia , assimilabile ad un potenziale gravitazionale , e, se un orologio è ad un potenziale gravitazionale maggiore di quello in cui si trova l'orologio di riferimento , esso va "più in fretta" di quello di riferimento. Ho trovato, in un libro di relatività generale , questo esercizio, che far riferimento ad una situazione analoga :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

in pratica , succede come per gli orologi del GPS : trovandosi ad un potenziale gravitazionale maggiore di quello sulla terra , gli orologi del GPS vanno più in fretta di quelli terrestri . Il fattore di correzione risulta essere : $( 1 + (gH)/c^2 ) = (1 + |phi|/c^2) $ .

Io credo che chi ha assegnato l'esercizio abbia considerato solo il rallentamento del tempo dovuto alla velocità , cioè l'effetto previsto dalla relatività ristretta . Ma ora non mi sbilancio oltre, poiché potrei incorrere in errori, e francamente non mi va. L'argomento è spinoso, e chi ha assegnato il problema forse non sa in quale ginepraio si è andato a cacciare .

[mgrau]

Che il problema sia spinoso non ci sono dubbi.
Ma, a parte questo, l'effetto gravitazionale dovrebbe rallentare l'orologio alla periferia, giusto? Non è come se si trovasse "più in basso"?

[spazio_tempo]

Più grande è la forza centrifuga, tanto più grande è l'effetto della accelerazione di gravità artificiale.

Tanto più grande è l'accelerazione di gravità, tanto più l'orologio dentro la centrifuga sarà indietro rispetto a quello esterno.

[Shackle]

Più grande è la forza centrifuga, tanto più grande è l'effetto della accelerazione di gravità artificiale.

Tanto più grande è l'accelerazione di gravità, tanto più l'orologio dentro la centrifuga sarà indietro rispetto a quello esterno.

Che il problema sia spinoso non ci sono dubbi.
Ma, a parte questo, l'effetto gravitazionale dovrebbe rallentare l'orologio alla periferia, giusto? Non è come se si trovasse "più in basso"?

Non vorrei sbagliarmi , ma il potenziale delle forze centrifughe aumenta spostandosi dal centro verso la periferia , o no ?

http://elena-vuk.unibs.it/Materiale_cor ... lativa.pdf

Nella stessa direzione in cui aumenta il potenziale centrifugo, aumenta il ritmo dell'orologio, che va piu in fretta. Nel campo gravitazionale terrestre, quando l'orologio si avvicina a terra , e quindi $g$ aumenta, l'orologio rallenta . Più in alto è l'orologio , più l'orologio accelera .
Ma posso sbagliarmi , ovviamente .

[mgrau]

Ribadisco che non ne so niente, ma se dovessi affidarmi all'intuito, direi che se un orologio in un punto A viene spostato in un punto B richiedendo di fare un lavoro contro la gravità - o l'accelerazione in questo caso - cioè in salita, o in questo caso verso il centro, allora l'orologio accelera (se fosse un fotone avrebbe una energia. o una frequenza, superiore), e viceversa se lo spostamento avviene a spese della gravità. E' sbagliato?

[Shackle]

Su ciò che abbiamo detto, riguardo al campo gravitazionale di un corpo celeste, siamo d’accordo: quando un orologio si avvicina a un corpo massivo, il tempo proprio da lui segnato rallenta rispetto al tempo di un orologio all’infImito.
Ho qualche dubbio su ciò che succede in un sistema di coordinate rotanti, come il disco.

D'altronde, riflettiamo su quell’esercizio sotto spoiler che ho messo: dice che maggiore è il potenziale “in modulo “ ( $phi$ è negativo, e nella formula di $z$ c’è $-phi$ ) , maggiore è il red shift Doppler .Cioe, maggiore è il raggio, maggiore è il red shift $z$. Questo vuol dire, se ricordo bene, aumento di lunghezza d’onda percepita in arrivo da un osservatore posto al centro, ovvero diminuzione di frequenza di un segnale em emesso dall'orologio in rotazione , quindi aumento del periodo $T = \lambda/c $ dell'onda in arrivo : penso che tu abbia ragione, farò qualche altra ricerca....

Resta comunque il fatto che , secondo me, c'è da prendere in considerazione anche il rallentamento del tempo per effetto della velocità tangenziale , come ho detto prima , per cui i due effetti sarebbero cumulati . Anzi, forse l'autore pensa solo al rallentamento dovuto alla velocità . E non conosciamo il raggio .

Troppo vago , tutto ciò .