Calcolo del lavoro

[vitunurpo]

Ciao a tutti, ho svolto un problema di fluidodinamica , ma non avendo la soluzione vorrei sapere se secondo voi l' ho risolto in maniera corretta. Eventualmente, potreste gentilmente dirmi se c'è un errore e come correggerlo?
Ecco il testo:
Un tubo a U è riempito di acqua: nella colonna di sinistra il tubo è aperto, mentre in quella di destra è chiuso da un pistone su cui è possibile esercitare una forza variabile . Inizialmente le due superfici libere sono alla medesima altezza. Se le colonne sono cilindriche e con raggio r=5cm=0,05m si calcoli che massa bisogna posare sul pistone perché il dislivello tra le due superfici assuma un valore h.
Calcolare poi il lavoro necessario a raggiungere un dislivello di $ Deltah=25cm=0,25m $

Io ho fatto così:
$ p=F/S=(mg)/(\pi r^2) $ e così ho trovato l'espressione della pressione che grava sulla colonnina di destra nel momento in cui io voglia esercitarne.
Poi applico la legge di Stevino:
$ p_2-p_1=\rho_(acqua)gh $
con $ p_1=p_(atm) $ e $ p_2=p+p_(atm) $ quindi
$ m=\rho_(acqua)h\pi r^2 $

Ora mi viene detto che voglio avere un dislivello di 0.25m quindi mi verrebbe da trovare il lavoro facendo $ \mathcal(L) =int _0^hF\cdotdx=mgh $ se sostituisco i numeri ,con m trovata precedentemente svolgendo il conto esplicito ( m = 1,96 Kg),
trovo un lavoro di 4,81 J. (il coseno tra le due forze è ovviamente 1 perché l'angolo compreso tra il vettore forza e il vettore spostamento è 0).

Ora, so che il problema potrebbe risultare molto banale, ma il calcolo del lavoro si riduce solo alla classica formula o sto trascurando qualche forza fregandomi da sola?

Grazie dell'aiuto.

[mgrau]

La massa va bene, anche se, secondo me, potevi scrivere direttamente $ m=\rho_(acqua)h\pi r^2 $, come dire che se aggiungi da una parte una massa $m$, lo devi fare anche dall''altra: l'acqua che sta al di sopra della superficie più bassa deve pesare quanto la massa aggiunta.
Per il lavoro invece no, direi che hai trovato un valore doppio del giusto, e lo puoi vedere in un paio di modi.
1 - la forza da applicare per spingere in giù la colonna non è fissa, ma aumenta linearmente con $h$: inizialmente è zero, e raggiunge il valore $mg$ solo alla fine, in sostanza è una forza elastica, proporzionale ad $h$
2 - perchè il dislivello finale sia $h$, la massa NON deve scendere di $h$, ma di $h/2$ (tieni presente che l'acqua nell'altro ramo SI ALZA)

[vitunurpo]

Il calcolo del lavoro in problemi del genere mi aveva fregata su questo fattore 1/2 anche un'altra volta. Spero di aver finalmente capito.
Grazie mille