studiando un pò di meccanica analitica ho incontrato questa funzione, successivamente all'introduzione della Lagrangiana di un sistema meccanico.
Come primo step si calcola la derivata totale rispetto al tempo della Lagrangiana, supposta indipendente dal tempo in modo esplicito, e si trova che lungo le soluzioni del moto la quantità:
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{\partial L }{\partial \dot{q_k}} \dot{q_k}\right )-L \)
è costante nel tempo, e la chiamo Hamiltoniana, fin qui tutto bene.
Ora, da qui, per ricavare le equazioni di Hamilton, ho visto che bisogna prima esprimere \(\displaystyle L(q, \dot{q}) \) come \(\displaystyle L(q, p) \), con la definizione \(\displaystyle p_k=\frac{\partial L}{\partial \dot{q_k}} \), da cui anche \(\displaystyle H(q, \dot{q}) \) diventa \(\displaystyle H(q, p) \).
Poi bisogna differenziare \(\displaystyle H(q,p)=\sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{\partial L(q, \dot{q}) }{\partial \dot{q_k}} \dot{q_k}\right )-L(q, \dot{q}) \) (da notare che bisogna farlo pensando \(\displaystyle H \) come funzione di \(\displaystyle q_k \) e \(\displaystyle p_k \), mentre \(\displaystyle L \) come funzione di \(\displaystyle q_k \) e \(\displaystyle \dot{q_k} \), cosa che mi sembra molto sporca).
Fatto ciò per confronto con la definizione di differenziale della funzione \(\displaystyle H(q,p) \) si ottengono le equazioni:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
\dot{p_k}=-\frac{\partial H}{\partial q_k}\\
\dot{q_k}=\frac{\partial H}{\partial p_k}
\end{matrix}\right. \).
Sinceramente non solo non ne vedo l'utilità ai fini della descrizione del sistema meccanico (c'è la Lagrangiana che funziona benissimo, no?) ma soprattutto mi sembrano molto più scomode, poiché in queste equazioni compaiono i momenti generalizzati \(\displaystyle p_k \) che, da definizione, per essere ottenuti c'è comunque bisogno di conoscere la Lagragiana del sistema.
Evidentemente c'è qualcosa di molto profondo e utile in queste equazioni che non riesco a vedere.
Qualche lume?
Grazie in anticipo a chi vorrà darmi una mano.
PS: dimenticavo, inoltre questa formulazione presuppone che L sia indipendente esplicitamente dal tempo, che è anche una restrizione di generalità
