MQ teoria delle perturbazioni

[dRic]

Nella teoria delle perturbazioni regolari scrivo la perturbazione subita dall'hamiltonana imperturbata ($H^0$) come:
$H = H^0+ \lambdaH'$. Ora vi riporto il esattamente il testo del mio libro perché non ho capito questo passaggio:

"Scrivendo $ \psi_n $ ed $ E_n $ come serie di potenze di $\lambda$, abbiamo:
$ \psi_n = \psi_n^0 + \lambda\psi_n^1+\lambda^2\psi_n^2 + ...$
$E_n = E_n^0 + \lambdaE_n^1 + \lambda^2E_n^2 + ....$

Prima domanda: perché dovrei esprimere $\psi_n$ ed $E_n$ in funzione di $\lambda$?
Seconda domanda: una espansione in serie è definita come: $ f(x) = sum_(n=0) c_n(x-d)^n $ non vedo il motivo per cui l'espansione arrivi alla forma sopra scritta

[cooper]

le esprimi in funzione di $lambda$ perchè in un certo senso immagini che sia quella la perturbazione (raccogli lì il carattere perturbativo) e considerando $lambda in [0,1]$ vai con continuità dall'imperturbata alla perturbata.
quella non è una serie di potenze ma stai espandendo in serie di Taylor $x^n$ dove $x=lambdaE_n$ per esempio.

[dRic]

Taylor? Adesso ci penso un po', ma sono ancora confuso... grazie mille comunque

[MementoMori]

No, non e' una serie di taylor.

Li stai espandendo $\phi_n $ e $ E_n $ come serie di potenze di $\lambda $ .

Dove nella tua forma sostituisce alla parentesi le $ \lambda $ e ai fattori davanti le energie.

Perche' ?

Perche' perturbi l'hamiltoniana iniziale con un fattore proporzionale a lambda e quindi ti aspetti che vi siano correzioni sull'energie di quel tipo, e' la scelta piu' ovvia

[dRic]

@MementoMori perfetto, credo di aver afferrato la prima parte della risposta però mi sfugge ancora questo nesso:

Perche' perturbi l'hamiltoniana iniziale con un fattore proporzionale a lambda e quindi ti aspetti che vi siano correzioni sull'energie di quel tipo, e' la scelta piu' ovvia

cioè, a senso mi torna, ma non trovo un motivo per cui debba essere così...

[cooper]

No, non e' una serie di taylor.

Taylor è una serie di potenze. però $x= lambda$ l'energia me la sono inventata (ed anche l'avere detto che quella non è una serie di potenze per la verità).

cioè, a senso mi torna, ma non trovo un motivo per cui debba essere così...

non è che sia l'unico modo per farlo. è comodo perchè usi da subito il fatto di approssimare la soluzione e perchè è semplice. su wikipedia c'è anche una dimostrazione alternativa dove non si usa $lambda$.

[MementoMori]

Si e' una serie di potenze ma particolare, quella non e' una serie di taylor . Non tutte le serie di potenze sono serie di Taylot

[dRic]

Boh credo di aver capito meglio, ma ci ragionerò ancora un po'. Grazie mille.