La simultaneita' nella relativita'

[ludovica_97]

Buonasera,
ho il seguente esercizio di relativita':
Un aereo si muove in direzione orizzontale alla velocita' di crociera di $915km/h$. Un controllore di volo si trova nella base di controllo a terra e vede accendersi due luci simultaneamente dalla coda e dalla testa dell'aereo distanti tra loro d=70m.
Un passeggero seduto al centro dell'aereo vede i due eventi simultanei?"
Sicuramente la risposta e' no in quanto ho che il passeggero sull'aereo si muove con una certa velocita' ed essendo il tempo relativo, in questo sistema di riferimento i due eventi non saranno simultanei.
Ora voglio calcolare quindi la distanza di tempo tra i due eventi. Ho svolto cosi:
le leggi del moto nei tre casi sono:
osservatore: x=vt
testa aereo: x'=-d/2+ct
coda aereo: x''=d/2+ct
A questo punto dovrei trovare a che tempo l'osservatore vede la luce della testa accendersi e a che tempo quella della coda. Idee su come farlo??

[Vulplasir]

Moderatore: Palliit

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[ludovica_97]

Puoi aiutarmi o sai solo commentare inutilmente??

[Shackle]

Ciao . Io la vedo cosí , salvo errori , che in relatività sono sempre in agguato.

La prima cosa che viene da dire è che, essendo la velocità dell'aereo talmente piccola rispetto a $c$ , si potrebbe trascurare qualunque effetto relativistico. Ma evidentemente lo spirito dell'esercizio è diverso , cioè si vuole applicare la RR ad ogni costo. Allora, vediamo se riesco a non dire scemenze, che a quanto pare negli ultimi tempi vanno di moda, qui.

Abbiamo : $beta = v/c = \approx 0.9*10^-8 $ , addirittura! E inoltre , il fattore di Lorentz si può sviluppare in serie di Taylor fermandosi al primo termine significativo dopo $1$ , cioè : $gamma \approx 1 + 1/2beta^2 $ , che differisce pochissimo da $1$ . Comunque credo che qui i valori numerici contino poco, l'esercizio serve per capire come si procede, usando la RR.

Attacchiamo all'aereo un riferimento con apice $(x',t')$ , che è in moto nella direzione $x$ spaziale del riferimento fisso del controllore $(x,t) $ . I dati ci dicono che l'aereo si sta allontanando nella direzione delle $x$ positive , con velocità $v$ rispetto a terra . Chiamo $A$ la coda dell'aereo , chiamo $B$ la testa . Evidentemente :

$x'_B-x'_A = L $

è la lunghezza propria dell'aereo, misurata nel riferimento con apice , ad esso solidale, qualunque siano $x'_A$ e $x'_B$ .
Ad essa corrisponde la lunghezza contratta $L/\gamma$ misurata dal controllore , quindi le coordinate spaziali di testa e coda, nel riferimento di terra , devono soddisfare la relazione :

$x_B - x_A = L/\gamma $

le coordinate fisse e mobili , sia spaziali che temporali, sono legate tra loro dalle trasformazioni di Lorentz, che ci serviranno tra poco.

Chiamo con gli stessi nomi $A$ e $B$ i due eventi :

$A$ = la luce viene emessa dalla coda dell'aereo
$B$ = la luce viene emessa dalla testa dell'aereo

infatti, noi ci dobbiamo focalizzare sui due eventi dell'emissione dei segnali .

il testo dice che il controllore a terra riceve i segnali emessi nello stesso istante del suo tempo $t$; quindi, rispetto al controllore , i due segnali sono stati emessi in istanti di tempo coordinato diversi : per arrivare insieme , quello di testa deve percorrere più spazio di quello di coda . Possiamo quindi scrivere :
$t-t_A = x_A/c \rightarrow t = t_A + x_A/c $

$t-t_B = x_B/c \rightarrow t = t_B +x_B/c = t_B + x_A/c + L/(\gammac) $

in quanto sappiamo che : $x_B = x_A + L/\gamma$ . Uguagliando i secondi membri delle due equazioni, e semplificando , si ha :

$t_A - t_B = L/(gamma c) $

Questa dunque è la differenza tra i tempi coordinati corrispondenti ai due eventi A e B , poiché i segnali da essi emessi arrivano contemporaneamente al controllore . Nel suo riferimento , deve ovviamente essere emesso prima il segnale da B e poi quello da A , essendo B più lontano e dovendo i due segnali , che hanno la stessa velocità $c$ , raggiungere il controllore nello stesso istante $t$ di questo .

Adesso non ci resta che applicare le trasformazioni di Lorentz alle coordinate temporali degli eventi , per veder di quanto differiscono nel tempo proprio dell'aereo :

$ct'_A = gamma(ct_A - betax_A)$
$ct'_B = gamma(ct_B - betax_B)$

sottraendo : $ c( t'_B - t'_A) = gamma [c(t_B-t_A) - beta (x_B-x_A)] = gamma [c(t_B-t_A) - betaL/\gamma] = gamma [ c(-L/(gammac ) )- betaL/\gamma ] = - (1+beta)L $

da cui : $ t'_A - t'_B = (1+beta)L/c $

Questa è la differenza di tempo proprio tra i due eventi. Ed è anche la differenza misurata dal passeggero seduto a metà treno , poiché per il passeggero la stessa lunghezza $L/2$ è percorsa dalla luce con la stessa velocità $c$ .

Si vede subito che , se fosse $beta \approx 0 $ , la differenza sarebbe uguale a $L/c$ .

[ludovica_97]

Grazie, sei stato chiarissimo