energia cinetica della vettura e delle ruote

[_Yuri_]

Quesito, banale anche per un liceale.
Sappiamo che l'energia cinetica di una ruota (di una vettura o altro mezzo) il cui momento di inerzia è $ I=m*R^2"$ è data da $m*v^2"$ (assumiamo le ruote ad anelli), in quanto si tratta di moto rototraslatorio (per il teorema di Konig, si somma k del centro di massa e k del moto rotatorio).

Adesso mi chiedo, se su queste ruote grava anche la massa $M_a$ di una autovettura (con $M$ massa totale = $M_a$ + $m$ $massa $ $ruote$), si arriva a dire che ogni ruota ha un'energia cinetica di $1/4*M*v^2$, e sommando così l'energia cinetica di tutte e 4 le ruote si arriva a dire che l'energia cinetica totale è di $M*v^2$. Tuttavia è noto che l'energia cinetica totale, considerando l'autovettura, è di $1/2 M* v^2$.
L'errore che faccio non è solo grosso, è imbarazzante, mi rendo conto. Tuttavia non sono sicuro di dove sia. Immagino che l'errore sia di pensare alla massa dell'autovettura che grava sulle ruote, (aumentandone erroneamente il momento di inerzia). Se invece si considera separatamente il sistema ruote e vettura allora l'energia cinetica delle ruote è solo $m*v^2"$, con $ m $ = $massa$ $ruote$ e la $K$ della vettura è $1/2 M* v^2$ ($M$ massa totale). In tal caso, la massa della vettura inciderebbe solo sulla componente normale in forma di forza come $M*g$
Insomma, è la massa della vettura che mi crea problemi, probabilmente non deve entrare nell' $I$ delle ruote.

[professorkappa]

Non seguo il ragionamento.
Se le ruote hanno massa m (ognuna) e il resto massa M, l'energia cinetica totale della macchina e'

$1/2Mv^2+4*1/2I_Gomega^2+4*1/2mv^2$, con $I_g=mR^2$, momento di inerzia della ruota rispetto al mozzo (assunta la ruota come un anello sottile).
Se le ruote non slittano, allora $v=omegaR$ e la relazione diventa

$E_k=1/2Mv^2+4*1/2I_Gv^2/R^2+4*1/2mv^2=1/2(M+8m)v^2=1/2Mv^2+4mv^2$

[_Yuri_]

Sì, mi torna che $E_k$ $=$ $1/2 Mv^2 + 4mv^2$ . In questo caso $M$ però è la massa totale della vettura (ruote più carrozzeria) o solo della carrozzeria senza ruote?
La confusione che faccio è perché volendo calcolare $E_k$ della sola ruota sono tentato a metterci dentro anche la massa che sta sopra ad ogni ruota ($1/4 M$)

[professorkappa]

Carrozzeria senza ruote. Ho definito i simboli e le ho tenute sopra.
La massa della carrozzeria grava sul mozzo, e non varia il mom. di inerzia della ruota, non capisco da dove ti venga quest'idea, o forse capisco male io quello che intendi.

[_Yuri_]

Mi sono chiarito il dubbio, la massa della carrozzeria non varia $I$ della ruota. Ci siamo.
A questo punto però, correggimi, l'energia cinetica totale della vettura (carrozzeria + ruote) che corre con velocità $v$ non è $1/2 M_t v^2"$ (con $M_t$ massa totale carrozzeria + ruote), ma leggermente più alta, ovvero $1/2Mv^2+4mv^2$ con $M$ massa della carrozzeria e $m$ massa delle ruote. Ho visto decine di esercizi di fisica in cui l'energia cinetica di una vettura era semplicemente $1/2 M_t v^2$, si tratta solo di un'approssimazione lecita?

[professorkappa]

Beh, direi di si per 3 motivi: 1, la massa della carrozzeria e' nettamente superiore a quella delle ruote. 2) tu consideri la ruota come un disco di raggio R, ma quella e' un'approssimazione avventata: la massa del metallo, prevalente rispetto al copertone, e' "piu' intorno" intorno al mozzo che non raccolta a distanza R dal mozzo. Ma, piu' semplicemente, se ti dicono che l'energia cinetica di una macchina (intera) e' $1/2Mv^2$, chi ha scritto il testo ovviamente per semplicita' "ha inglobato" dentro la sua M il nostro $M+8m$.