Determinare il campo elettrico generato da un conduttore

[siddy98]

Supponiamo di avere nello spazio un conduttore $\Omega$ ed esternamente ad esso una distribuzione di carica nota $rho$. Chiaramente quest'ultima induce una distribuzione di carica supericiale $\sigma$ sul conduttore, in modo che all'interno di $\Omega$ il campo elettrico totale sia nullo.

La domanda è questa: sono univocamente determinati il campo elettrico totale $bbE$ all'esterno del conduttore e la densità $\sigma$?

Credo che per rispondere si debba far riferimento all'equazione di Poisson, ma ci sono delle cose che non capisco. Detto $\phi$ il potenziale di $bbE$, questo è univocamente determinato (problema di Dirichlet) se lo poniamo pari a zero "all'infinito" e se conosciamo il valore da esso assunto su $\del \Omega$. Ma quest'ultimo valore non è noto a priori...

Come ne si viene fuori?

Grazie in anticipo a tutti

[singularity]

Detto $\phi$ il potenziale di $bbE$, questo è univocamente determinato (problema di Dirichlet) se lo poniamo pari a zero "all'infinito" e se conosciamo il valore da esso assunto su $\del \Omega$. Ma quest'ultimo valore non è noto a priori...

Infatti la soluzione, ammessa una sufficiente regolarità delle funzioni, esiste ed è unica date le condizioni al contorno.

[siddy98]

Questo è chiaro. E' solo che dal punto di vista fisico non mi torna del tutto. Se, ad esempio, avvicinassi una carica puntiforme nota $q$ ad un conduttore, la densità di carica indotta $\sigma$ e quindi anche il campo elettrico dovrebbero essere univocamente determinati dalla geometria del conduttore e dalla sua posizione relativa a $q$. O mi sbaglio?

[siddy98]

Nessuno che abbia idee?

[albireo]

In base a ciò che dici, tu non sai in partenza il valore del potenziale ai bordi del tuo sistema. Però se ti può essere d'aiuto, si può dimostrare che se sono note la densità di carica esterna al conduttore e la carica totale $Q$ del conduttore (sì, basta semplicemente saperne la carica e non la densità), allora il campo elettrico $\vec E$ è univocamente determinato. Nel tuo caso, quindi, la prima ipotesi è verificata; se sai anche quanto vale $Q$, allora il campo elettrico sarà determinato in modo univoco. Vedi per esempio qui: http://teacher.pas.rochester.edu/PHY217/LectureNotes/Chapter3/LectureNotesChapter3.html#Heading209

[siddy98]

Non esiste un modo per ricavare eventualmente la carica complessiva $Q$? Io avevo ipotizzato, ma probabilmente mi sbaglio, che fosse $Q=0$, perché il conduttore complessivamente è neutro, infatti su di esso non viene depositata nessuna carica; la distribuzione superficiale deriva solo dalla polarizzazione . La cosa però mi sembra un po' campata in aria...

[albireo]

Cioè tu vuoi sapere tutto (carica e densità di carica nel conduttore, campo elettrico fuori dal conduttore) sapendo solo la densità di carica fuori dal conduttore, mi sembra un po' impossibile... Se però sai per certo che il conduttore è neutro, e quindi $Q=0$, allora vale quanto detto nel messaggio precedente.

[siddy98]

Be', non solo la densità di carica fuori dal conduttore...conosco anche la geometria di quest'ultimo. Mi sembra strano che non si possa pervenire a una risposta univoca, perché mi pare una situazione fisica ben definita.
Facciamo di avere un pezzo di metallo di forma nota, inizialmente scarico; poi prendo un oggetto carico, facciamo puntiforme, di carica $q$, e lo tengo a una certa distanza dal pezzo di metallo. A questo punto dovrei riuscire a calcolare il campo elettrico totale, no? Per me le possibilità sono due: 1) il fatto che sul conduttore non sia stata posta una ulteriore carica (es. per strofinio o altri metodi balordi) implica che $Q=0$, e quindi matematicamente posso risolvere il problema; 2) il campo elettrico e la densità superificiale dipendono anche da qualche altro parametro. L'unico che mi sembra plausibile è la natura del materiale, ma francamente mi pare decisamente più probabile la 1).

Che ne pensi?

[albireo]

Se sai che il conduttore è "scarico", come di ci tu, allora è giusta la 1).