Sfere conduttrici mantenute a potenziale costante

[Maschinna]

Buondì,
ho svolto il problema sotto, ma non sono sicuro della esattezza dello svolgimento.

Un sistema è costituito da due sfere conduttrici concentriche di raggio R1 e R2 con R1 < R2. Le due sfere sono mantenute ad una differenza di potenziale V0 da un generatore. Viene inoltre introdotta tra le sfere una densità di carica di volume $ rho (r) $ funzione della posizione radiale r secondo la legge $ rho (r)=k∙r^a $ Si determinino:
a) I valori di a e k affinché il campo elettrico radiale tra le sfere sia uniforme.
b) Le densità superficiali di carica indotta sulle due sfere in queste condizioni.

Svolgimento:
Applico la legge di Gauss, tenendo conto del fatto che il sistema è simmetrico rispetto al centro delle sfere.
Perciò, posta Q0 la carica depositata sulla sfera di raggio minore,
$ E={Q_0 +int_(Lambda) kr'^a r'^2 sinphi dr' d theta d phi} / {4 pi epsi} = V_0 / (R_2-R_1)$
dove $ Lambda ={R_1 < r' < r, 0 < theta < 2 pi, 0 < phi < pi } $

Dall'identità tra polinomi si ricavano
$ k=2 V_0 epsi/(R_2-R_1) $
$ Q= 4 pi epsi V_0/ (R_2-R_1) R_1^2 $
a =-1

Per le cariche superficiali per il Th di Coulomb:
$ E_1= sigma_1 epsi $
Infine la carica interna sulla sfera 2 deve essere eguale e contraria a quella totale interna, affinché si abbia un campo nullo nel conduttore di raggio R_2.
Ma come si calcola quella esterna^ :/

Grazie!

[Maschinna]

Nessuno che mi sappia suggerire se l'ho svolto correttamente?
Grazie

[anonymous_0b37e9]

... affinché il campo elettrico radiale tra le sfere sia uniforme.

A rigore, un campo vettoriale uniforme ha lo stesso modulo, la stessa direzione e lo stesso verso in ogni punto in cui è definito. Non essendo questo il caso, immagino si richieda solo lo stesso modulo. Ad ogni modo, i tuoi risultati mi sembrano corretti. Infatti:

$[E*4\pir^2=(Q_1+\int_{R_1}^{r}kr^a*4\pir^2dr)/\epsilon_0] rarr$

$rarr [E*4\pir^2=(Q_1+4\pik\int_{R_1}^{r}r^(a+2)dr)/\epsilon_0] rarr$

$rarr [E*4\pir^2=(Q_1+(4\pik)/(a+3)(r^(a+3)-R_1^(a+3)))/\epsilon_0] ^^ [a ne -3] rarr$

$rarr [E=[Q_1/(4\pi\epsilon_0)-(kR_1^(a+3))/(\epsilon_0(a+3))]*1/r^2+k/(\epsilon_0(a+3))*r^(a+1)]^^ [a ne -3] rarr$

$rarr [Q_1/(4\pi\epsilon_0)-(kR_1^(a+3))/(\epsilon_0(a+3))=0] ^^ [a=-1] rarr$

$rarr [Q_1/(4\pi\epsilon_0)-(kR_1^2)/(2\epsilon_0)=0] ^^ [a=-1] rarr$

$rarr [Q_1=2\pikR_1^2] ^^ [a=-1]$

Inoltre:

$[E=k/(2\epsilon_0)] rarr [V_0=k/(2\epsilon_0)(R_2-R_1)] rarr [k=(2\epsilon_0V_0)/(R_2-R_1)]$

Infine:

$[Q_1=2\pikR_1^2] rarr [Q_1=(4\pi\epsilon_0V_0R_1^2)/(R_2-R_1)]$

[Maschinna]

Grazie mille!
Avresti suggerimenti per il calcolo della densità superficiale di carica sulla sfera esterna?
Non credo che si possa affermare che la sua carica totale sia nulla

[anonymous_0b37e9]

Puoi procedere in due modi.

1. Imponendo $[Q_2=Q_1+Q_i]$:

$[Q_i=\int_{R_1}^{R_2}kr^a*4\pir^2dr] ^^ [a=-1] ^^ [k=(2\epsilon_0V_0)/(R_2-R_1)] rarr$

$rarr [Q_i=(8\pi\epsilon_0V_0)/(R_2-R_1)\int_{R_1}^{R_2}rdr] rarr$

$rarr [Q_i=4\pi\epsilon_0V_0(R_2+R_1)]$

$[Q_2=Q_1+Q_i] rarr$

$rarr [Q_2=(4\pi\epsilon_0V_0R_1^2)/(R_2-R_1)+4\pi\epsilon_0V_0(R_2+R_1)] rarr$

$rarr [Q_2=(4\pi\epsilon_0V_0R_2^2)/(R_2-R_1)] rarr$

$rarr [\sigma_2=(\epsilon_0V_0)/(R_2-R_1)]$

2. Teorema di Coulomb:

$[E=V_0/(R_2-R_1)] ^^ [E=\sigma_2/\epsilon_0] rarr [\sigma_2=(\epsilon_0V_0)/(R_2-R_1)]$

[Maschinna]

Grazie!