Due molle

[Cantor99]

"Una particella di massa m viene collegata da due molle identiche su un tavolo orizzontale privo di attrito. Entrambe le molle hanno costante elastica pari a k e sono inizialmente a riposo nella posizione x=0. La particella viene poi trascinata di una distanza x come mostrato in figura.
a) mostra che la forza trainante ha modulo
$F=2kx(1-\frac{L}{sqrt(L^2+x^2)})$
b) mostra che l'energia potenziale del sistema è pari a
$U(x)=kx^2+2kL(L-sqrt(L^2+x^2))$
c) se la particella viene rilasciata calcola la velocità con cui raggiunge la posizione x=0"

Ho svolto il punto a) e parzialmente i restanti: per la b) ho trovato la primitiva di $F(x)$ ma non so come calcolare la costante; per la c) imvece non so se ho proceduto bene: ho posto semplicemente (chiamando A la posizione in cui la massa sta per essere rilasciata e B la posizione in cui la pallina attraversa x=0)
$2U_(e,A)=K_B$
$k(L-sqrt(x^2+L^2))=\frac{1}{2}mv^2$

Grazie mille a chiunque risponderà

Edit: non riesco a caricare l'immagine più grande di così (dove c'è la pallina innominata è x=0)

[professorkappa]

Per b, se imponi che U(0)=0, calcoli la costante.
C e' sbagliato, anche dimensionalmente, perche a sinistra le dimensioni sono quelle di una forza.
Semplicemente, se hai calcolato la costante come ti ho detto in b, allora nel punto A hai solo energia potenziale, mentre in B hai solo energia cinetica, perche, appunto, hai imposto tu che U(0)=0. Eguagli, in virtu' della conservazione dell'energia meccanica, e risolvi per v

[Cantor99]

Grazie per la risposta.
Sì in c) il fattore $L-sqrt(x^2+L^2)$ doveva essere al quadrato per come l'avevo iniziato a fare.
Non ho ben capito che devo fare nel punto c, forse $2kL^2=\frac{1}{2}mv^2$?

[professorkappa]

Non ho ben capito che devo fare nel punto c, forse $2kL^2=\frac{1}{2}mv^2$?

No, semplicemente all'istante iniziale l'energia cinetica e' nulla e quella potenziale vale

$kx^2+2kL(L-sqrt(L^2+x^2))$

Quando passa per 0, l'energia potenziale e' nulla e quella cinetica e' $1/2mv^2$. Quindi:

$kx^2+2kL(L-sqrt(L^2+x^2))=1/2mv^2$, da cui $v$, che e' ovviamente funzione di $x$: piu' tiri le molle, e piu' veloce sara' il passaggio in 0

[Cantor99]

Benissimo, grazie mille