Simmetrie tra energia e spostamento

[maximpertinente]

Amici del forum,
ho un semplice quesito da esporre.

Esaminando la dinamica di un volano configurato come nel disegno:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

(Si noti che la configurazione nel disegno risulta paragonabile ad un classico sistema a carrucola 2:1).

tramite canonici metodi di risoluzione, il rapporto delle energie attribuite alle due masse orbitanti risulta non simmetrico.

Poniamo il seguente caso:
Inizialmente il volano è fermo, e sulle masse agisce una forza (g*M) lungo l'asse y.
Poichè la massa piccola di sinistra (1/2M) è posta ad una distanza di raggio 2L dal fulcro, ossia il doppio della distanza rispetto al baricentro della massa M a destra, le forze sono in perfetto equilibrio e la risultante è nulla.

Ora supponiamo di imprimere un'accelerazione al volano, con una forza F esercitata sulla massa M per una lunghezza L (come da disegno).
Diamo una definizione alle misure, così da rendere più agevole il confronto:
M = 1kg
L = 1m
F = 2N

Esercitando F sulla massa M, con direzione sempre perpendicolare al raggio, il modulo accelerazione di M è 1m/s² applicato per lunghezza 1 metro, invece il modulo della massa piccola 1/2M è pari a 2m/s² per 2 metri.

Tramite calcolo della forza-viva, l'energia cinetica di M risulta pari a 1 Joule. Diversamente, l''energia di 1/2M risulta 2 Joule. Tuttavia, durante la rotazione a v costante all'interno di un campo di forza, le energie devono scambiarsi simmetricamente tra le due masse, al fine di mantenere invariata la velocità di rotazione (cioè quello che si verifica in natura).

La velocità di M su asse y passa da 1,41 m/s in corrispondenza di $2pi$ a 0 m/s in $3/2pi$ ($= Delta 1 J$), nel contempo in direzione opposta la massa 1/2M passa da 2,82 m/s a 0 m/s ($= Delta 2 J$).

In definitiva,
Applicati: 2N*1m (forza-viva = 2 Joule)
Risultati: 1kg a 1,41 m/s, più 0,5kg a 2,82 m/s (1 Joule + 2 Joule = 3 Joule)

Dov'è l'inghippo? Sbaglio io qualcosa, oppure il metodo di determinazione è fallace?
Escludo a priori la terza ipotesi, ovvero che vi possano essere presupposti per un moto perpetuo di prima specie.

[mgrau]

Tuttavia, durante la rotazione a v costante all'interno di un campo di forza, le energie devono scambiarsi simmetricamente tra le due masse, al fine di mantenere invariata la velocità di rotazione (cioè quello che si verifica in natura).

Che vuol dire?

[professorkappa]

Che vuol dire?

Che ci sei caduto come un pollo...hahhhahhahhhhha!!!

[maximpertinente]

Mgrau, intendo dire che l'energia potenziale della massa che scende deve essere uguale (distribuita e scambiata simmetricamente) all'energia potenziale della massa che sale. Se così non fosse, il moto di rotazione non sarebbe uniforme.

La massa M da 1kg, nella seconda metà della discesa percorre un dislivello L con una data accelerazione.
Dall'altro lato, la 1/2M da 0,5kg, sale di un dislivello 2L con accelerazione doppia.

E' pur vero che la misura della massa per il dislivello risulta uguale, ma innanzitutto così facendo il modulo di variazione del moto viene totalmente ignorato; E poi, come si spiega il fatto che esercitando 2 Newton per 1 metro risulta applicata un'energia di 3 Joule?

[Vulplasir]

[mgrau]

Direi che semplicemente hai sbagliato i conti. Vediamo un po':

Inizialmente il volano è fermo, e sulle masse agisce una forza (g*M) lungo l'asse y.

Cosa ci interessa la gravità? Come dici anche tu, il sistema è in equilibrio indifferente, la gravità non ha effetto.

Ora supponiamo di imprimere un'accelerazione al volano, con una forza F esercitata sulla massa M per una lunghezza L

Perchè specifichi che la forza è applicata a M? 2N per 1m sono sempre 2J

Esercitando F sulla massa M, con direzione sempre perpendicolare al raggio, il modulo accelerazione di M è 1m/s² applicato per lunghezza 1 metro, invece il modulo della massa piccola 1/2M è pari a 2m/s² per 2 metri.
Tramite calcolo della forza-viva, l'energia cinetica di M risulta pari a 1 Joule. Diversamente, l''energia di 1/2M risulta 2 Joule.

Qui non ho capito che calcoli fai. Da dove vengono queste accelerazioni? E le velocità, quando le hai trovate? Puoi chiarire i passaggi?

La velocità di M su asse y passa da 1,41 m/s in corrispondenza di $2pi$ a 0 m/s in $3/2pi$ ($= Delta 1 J$), nel contempo in direzione opposta la massa 1/2M passa da 2,82 m/s a 0 m/s ($= Delta 2 J$).

Idem, non capisco i passaggi.

Invece, i conti che farei io sono:
Questo è un sistema che ruota.
Il suo momento d'inerzia è $1Kg*1m^2 + 1/2Kg*(2m)^2 = 3 Kg*m^2$
Il lavoro compiuto per metterlo in moto è $L = 2N*1m = 2J$
Abbiamo che $1/2Iomega^2 = L -> omega = 2/sqrt(3) (rad)/s$
Le velocità sono:
per M $v_1 = omega.1m = 2/sqrt(3) m/s$
per 1/2M $v_2 = omega*2m = 4/sqrt(3) m/s$
Le energie cinetiche, giusto per una controprova, sono:
$1/2 M v_1^2 = 2/3 J$
$1/2 1/2M v_2^2 = 4/3 J$
Energia totale: $2/3 + 4/3 = 2J$

Niente moto perpetuo quindi. Peccato, sarà per un'altra volta.

[professorkappa]

Non credo max ventilasse la possibilita del moto perpetuo.
Credo che chiedesse come mai, anche senza un cambio di coordinate di impulso, sul sistema di riferimento detto propriamente, la modulazione della forza non resta costante e la forza viva vettoriale non palleggi le masse

[maximpertinente]

Mgrau, ho menzionato la gravità solo per impostare il confronto della potenziale per le due masse.
Ho specificato il punto di applicazione della forza, in cui corrisponde una precisa misura del momento inerziale, che non è quella rispetto all'asse di rotazione.

Hai definito le velocità tramite la conservazione della forza-viva. Ma devi usare un altro riferimento da paragonare altrimenti non puoi rilevare incongruenze del metodo.
Che controprova è, se la velocità angolare l'hai imposta arbitrariamente?

Profk, certamente. Senza cambio di coordinate d'impulso, la modulazione di magnitudine tra sistemi di riferimento non permette la corretta determinazione del misurando $Delta ϙ$ da gradiente $(v_0 \rightarrow v_x)/(1m)$. Vedi schiapalander non-NASA compliant. Ma si, sollazziamoci in allegria vulpla, in fondo che ce ne frega..

[professorkappa]

Profk, certamente. Senza cambio di coordinate d'impulso, la modulazione di magnitudine tra sistemi di riferimento non permette la corretta determinazione del misurando $Delta ϙ$ da gradiente $(v_0 \rightarrow v_x)/(1m)$. Vedi schiapalander non-NASA compliant.

Ne ero certo.

[maximpertinente]

Insomma, non si arriva mai ad una conclusione..

2N per 1m sono sempre 2J

Ma ne sei proprio sicuro? Cioè intendo, ci scommetteresti il resto dei tuoi giorni a fare il minatore di coltan, o preferiresti prima riservarti di indagare meglio sul fenomeno?

Se osservi nel disegno ho indicato appunto la lunghezza di applicazione, ma non ho fornito alcun tempo di esercizio.
Rifletti lucidamente su questo.