Moto Parabolico

[Tony96]

Salve ragazzi ho un esercizio che mi chiede di trovare la velocità minima con cui deve essere lanciato un pallone per poter superare un muro alto h= 20 m e distante d=30 m dal punto di lancio, sapendo che si trascurano gli attriti dell'aria. L'angolo di lancio me lo sono ricavato guardando il disegno, ponendolo uguale alla tangente di h/d. A questo punto come si procede? Ho pensato di fare in questo moto: Ho le due equazioni dei moti proiettati sugli assi, nell'equazione per la x, mi ricavo il tempo in funzione della velocità iniziale per cui il pallone si trova proprio a d=30 m. A questo punto il tempo trovato lo inserisco nell'equazione per la y, avendo posto che in quell'istante si trova all'altezza h, in questo modo trovo la velocità iniziale 'minima' ma mi viene un valore molto grande e il ragionamento che ho fatto non mi convince. Mi sapete dire se è giusto e/o in cosa sbaglio ? Vi ringrazio!!

[Shackle]

Se spari il proiettile con quell'angolo iniziale, la parabola che viene fuori interseca il muro, non lo supera .

In direzione dell'asse $x$, orizzontale, la componente della velocità é costante durante tutto il moto :

$v_x = v_(0x) \rightarrow x = v_xt = v_(0x)t $

in direzione dell'asse $y$ , ortogonale al piano , la componente della velocità invece diminuisce col tempo :

$v_y = v_(0y) - g*t \rightarrow y = v_(0y) t -1/2g*t^2 $

Ricava l'equazione della parabola in forma cartesiana , e falla passare per i punti obbligati , che sono, oltre all'origine, la cima del muro coincidente col vertice della parabola e il punto simmetrico dell'origine rispetto al muro, sull 'asse $x$ .

[professorkappa]

Se spari il proiettile con quell'angolo iniziale, la parabola che viene fuori interseca il muro, non lo supera .

In direzione dell'asse $x$, orizzontale, la componente della velocità é costante durante tutto il moto :

$v_x = v_(0x) \rightarrow x = v_xt = v_(0x)t $

in direzione dell'asse $y$ , ortogonale al piano , la componente della velocità invece diminuisce col tempo :

$v_y = v_(0y) - g*t \rightarrow y = v_(0y) t -1/2g*t^2 $

Ricava l'equazione della parabola in forma cartesiana , e falla passare per i punti obbligati , che sono, oltre all'origine, la cima del muro coincidente col vertice della parabola e il punto simmetrico dell'origine rispetto al muro, sull 'asse $x$ .

Mmmmmm...ma come ci assicura che tra le infinite parabole che passano per l'origine e la cima del muro, la simmetrica sia quella con velocita minima iniziale?
Io procederei cosi (non sono riuscito a trovare una soluzione piu' semplice).

Da
$y=-g t^2/2+v_0sinthetat$ $x=v_0costhetat$, eliminando il tempo ottengo
$y=-g x^2/[2(v_0costheta)^2]+v_0sinthetax/(v_0costheta)=-g x^2/[2(v_0costheta)^2]+tanthetax$

Equazione di una parbola passate per l'origine. Imponendo che $x=d->y=h$ si ottiene:

$h=-g d^2/[2(v_0costheta)^2]+d*tantheta$

Da cui, con un po' di conti fatti su carta, che non riporto:

$v_0^2=[gd^2]/[2(dsintheta-hcostheta)costheta]$

Derivando rispetto a $theta$

$2v_0[dv_0]/[d theta]=[-2gd^2*[(dcostheta+hsintheta)costheta+(dsintheta-hcostheta)sintheta]]/[2(dsintheta-hcostheta)costheta)^2$

Imponendo $[dv_0]/[d theta]=0$ si trova l'angolo richiesto per minimizzare la velocita' di lancio.
Puo darsi che alla fine risulti la parabola simmetrica, ma se cosi fosse, non riuscirei a darmi una speigazione fisica o intuitiva del perche'. Spero' che lo studente sviluppi i calcoli e li posti.

[Shackle]

ProfessorKappa ,

una parabola ad asse verticale è simmetrica rispetto all'asse , giusto? Il vertice è il punto più alto, quindi è sufficiente che la parabola che cerchiamo passi per la sommità del muro assunto come vertice . Naturalmente in quel punto la retta tangente è orizzontale. Il punto di intersezione della parabola con l'asse $x$ , diverso dall'origine, ha ascissa doppia di quella del vertice. Non vedo la necessità di fare tanti calcoli, quello che ho detto mi sembra la soluzione più semplice.

[Tony96]

Ciao innanzitutto grazie mille per la disponibilità. Fino a quando trovi vo ci sono, ho capito il ragionamento.. poi non capisco perché si procede con la derivazione...

[Tony96]

Comunque non lo so, deve esserci un metodo più semplice... perchè questa è un esercizio da soli 3 punti classificato come livello base, ma non ci arrivo :S

[Shackle]

Facendo come ho detto , io trovo :

$v_(0y) = sqrt (2gh)$ , e questa è ovvia !
$v_(0x) = (gd)/v_(oy)$

sostituendo i numeri , viene ( se ho fatto bene i conti) :

$v_(0y) = sqrt (2gh)= 19.81 m/s$
$v_(0x) = (gd)/v_(oy) = 14.85 m/s $

da cui trovi pure l'angolo di lancio , e naturalmente il modulo della velocità iniziale.
Non devi derivare niente.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

[professorkappa]

ProfessorKappa ,

una parabola ad asse verticale è simmetrica rispetto all'asse , giusto? Il vertice è il punto più alto, quindi è sufficiente che la parabola che cerchiamo passi per la sommità del muro assunto come vertice . Naturalmente in quel punto la retta tangente è orizzontale. Il punto di intersezione della parabola con l'asse $x$ , diverso dall'origine, ha ascissa doppia di quella del vertice. Non vedo la necessità di fare tanti calcoli, quello che ho detto mi sembra la soluzione più semplice.

Grazie per l'esauriente spiegazione sulla parabola

Quindi secondo te, il valore minimo sarebbe
$v_x=14.85$
$v_y=19.81$

Angolo di lancio: 53.14 gradi. Velocita': 24.76m/sec

I conti tornano per come li imponi, ma chi ti dice che e' il valore minimo? Quello mi chiedo.

[professorkappa]

Comunque non lo so, deve esserci un metodo più semplice... perchè questa è un esercizio da soli 3 punti classificato come livello base, ma non ci arrivo :S

Se non ti da' l'angolo di lancio non e' cosi banale. L'unica certezza ce l'hai col mio metodo (magari ne esiste uno piu' semplice, ma non lo vedo).

I calcoli li ho fatti io.
L'angolo di lancio per minimizzare la velocita' iniziale e' circa 61,2 gradi

Velocita' di lancio minima: 23.5 m/s
Velocita' orizzontale iniziale: 11.07 m/sec
Velocita'verticale iniziale: 20.67 m/sec

Verifica del passaggio per d,h

Il proiettile arriva in d=30 dopo $t=2.71sec$
L'altezza e' $h=-9.81/2*2.71^2+20.67*2.71=20m$

Tempo di volo totale: $t_v=2v_y/g=4.21 sec$
Gittata $s=v_xt_v=46.67m$, cioe' 16,67m oltre il muro

[Shackle]

Prof kappa,
non hai bisogno di lezioni sulla parabola, tanto meno da me!
Riesaminando il testo, noto che in effetti ė un po' deficitario, perché parla solo di valore minimo della velocità (modulo ), ma non di angolo di lancio, che pure ė importante. Allora mi sono detto :" Ė un esercizio elementare, lo risolvo nel modo più elementare possibile" . E lo studente ha confermato che è un coso da 3 punti
Col tuo procedimento , trovi valori diversi , vedo, e il modulo della velocità iniziale è inferiore al mio. Non so però se Tony è a questo livello, forse si, ma allora non è un coso da 3 punti.

Facciamo una nota di biasimo al testo....