Attrito dinamico nel rotolamento di una ruota

[professorkappa]

Grazie ancora, ma ho ancora dei dubbi. La velocità angolare non è uguale a quella tangenziale diviso il raggio in ogni caso? In questo caso non trovo una relazione tra le due accelerazioni? Forse ho dimenticato di scrivere una cosa importante: l'esercizio offre questo suggerimento: Ci sono due modi alternativi di procedere, ATTENZIONE al fatto che se scegliete di calcolare il lavoro dell'attrito, lo spostamento da considerare è quello del punto di contatto della ruota relativamente al piano inclinato. Questo dovrebbe portarmi a fare qualche considerazione, ma non mi viene niente, non ho trovato nulla sul libro e in rete :S

In un corpo in puro rotolamento, il punto di contatto e' istantaneamente fermo. La sua velocita' rispetto alla superficie di contatto e' nulla.
In generale, la velocita' di un punto generico B, in un corpo in rototraslazione con velocita $omega$, si puo' scrivere come la somma di 2 termini: il primo termine e' la velocita' di un punto qualsiasi A e il secondo termine e' la velocita del punto B considerato come rotante con velocita' angolare $omega$ attorno ad A. E' praticamente una diretta discendenza dellla "velcoita' assoluta=velocita' di trascinamento + velocita' relativa".

In formule $vecv_B=vecv_A+vecomegaxxvecAB$

Nel caso di rotolamento puro, se prendi B come baricentro (il mozzo) e A come il punto di contatto, per quanto detto prima, istante per istante accade che:

$vecv_A=0$

Quindi $vecv_B=vecv_A+vecomegaxxvecAB$. Ti rendi subito conto che questa si traduce nella forma scalare (componente di $vecv_B$ parallela alla superficie) $v_B=omegaR$

Se inverti i punti (ora A e' il mozzo e B il punto di contatto), e il mozzo si muovesse di velocita nota $vecv_A$, il punto di contatto si muoverebbe come:

$vecv_B=vecv_A+vecomegaxxvecAB$. Ma siccome il modulo del secondo membro (scalare) e' $-omegaR$, da cui ottieni che $v_a$ (velocita del mozzo) e' $omegaR$.

Se il corpo slitta, $v_A$, velocita punto di contatto, non e' piu' nulla. Se, per esempio il corpo ruota con velocita' $omega$, allora $v_A=-omegaR$. Il che significa che il baricentro non si muove $v_B=-omegaR+omegaR=0$.

Se il baricentro si muovesse di velocita' nota (per esempio, di modulo $2omegaR$, per prendere un valore a caso), il punto di contatto striscia con velocita', rispetto al piano di $v_B=2omegaR-omegaR=omegaR$

Ritornando al tuo esercizio: risolvi il sistema, integri le eaccelerazioni con le condizioni iniziali (i corpi son fermi). Trovi lo spostamento d dopo 2 secondi e calcoli $Fd$, quello e' il lavoro perso per attrito.

Non vedo un secondo modo per risolverlo. Potresti usare il teorema delle forze vive, ma siccome ti richiede l'energia persa in 2 secondi (c'e' un tempo, non uno spostamento), mi verrebbe da dire che questa via sia piu' complicata

[Tony96]

Il mio problema è che ho trovato l'accelerazione del centro di massa e l'accelerazione angolare, ma non so quale usare per calcolare lo spostamento. Forse devo ricavare l'accelerazione del punto di contatto con le opportune formule e calcolare il suo spostamento?

[professorkappa]

Per quello che ti ho scritto prima, lo spazio percorso d dal punto di contatto e dato dallo spostamento MENO quello dovuto alla rotazione.
Cioe' $d=x(2)-theta(2)R$

$x$ e $theta$ le trovi risolvendo il sistema e integrando con le condizioni iniziali:
$x(0)=0$ e $dotx(0)=0$
$theta(0)=0 e dottheta(0)=0$

[Tony96]

Ok grazie mille ci sono. La forza di attrito dinamico avrà verso contrario a quello del moto e quindi mi darà un lavoro resistente giusto?

[professorkappa]

Si. Infatti ti chiede la perdita di energia. Se fosse stato lavoro motore, avrebbe determinato un incremento

[Vulplasir]

La questione in teoria dovrebbe essere un po' più delicata, perché in teoria l'attrito, che inizialmente fa ruotare la ruota in un verso, potrebbe far si che la velocità angolare sia a un certo punto sufficiente a far invertire la velocità di traslazione del punto di contatto, e quindi l'attrito diventerebbe motore...ma penso che in 2 secondi sia dificile che succeda

[Tony96]

Ho una curiosità/dubbio: se volessi calcolare l'energia dissipata come differenza di energia meccanica, l'energia cinetica la so calcolare, ma come trovo la variazione di energia potenziale della ruota e del blocco che scende? o meglio quello che non saprei calcolare è la loro quota

[professorkappa]

La questione in teoria dovrebbe essere un po' più delicata, perché in teoria l'attrito, che inizialmente fa ruotare la ruota in un verso, potrebbe far si che la velocità angolare sia a un certo punto sufficiente a far invertire la velocità di traslazione del punto di contatto, e quindi l'attrito diventerebbe motore...ma penso che in 2 secondi sia dificile che succeda

Interessante risvolto a cui confesso non avevo pensato. E allora posto un dubbio dopo riflessione sulla tua affermazione.
In generale vale $v_g != omegaR$, a parte per t=0 dove entrambe le quantita' sono nulle.

Supponiamo $a_G>dotomegaR$.
Dalla risoluzione del sistema dinamico ci accorgiamo che sia $v_G$ che $omegaR$ crescono linearmente.
Quindi la loro differenza e' sempre positiva.
Se si verificano le condizioni affinche' il disco salga, una differenza positiva indica che lo strisciamento relativo sara' sempre a salire lungo il piano per t>0. Quindi l'attrito dinamico sara' sempre verso il basso.
L'unico modo perche sia motore (rivolto verso l'alto) e' che $a_G<dotomegaR$ e anche qui rimarrebbe costantemente rivolto verso l'alto perche $a_G<dotomegaR$ sempre per t>0
Quindi, con partenza da fermo, se non erro, nel ragionamento, o hai attrito motore o hai attrito resistente, ma quello e' e cosi' rimane da quel momento in poi. Ti torna come ragionamento?

Sorge ora un altro dubbio, accidenti a te e alle tue uscite .....

Ora, che $a_G$ sia minore o maggiore di $dotomegaR$ dipende, in base a semplici considerazioni matematiche dalla relazione che intercorre tra le masse, l'angolo del piano e il coefficiente d'attrito dinamico.
Ma fisicamente, puo accadere che $a_G<dotomegaR$???
Io non riesco a vederlo: all'istante $t+dt$ il rotolamento puo' "sorpassare" la velocita' di baricentro????
Se, come mi viene da dire intuitivamente, la risposta e' no, dove si trova la conferma matematica di questa limitazione nelle formule???

[Vulplasir]

Ripensandoci bene non è possibile quello che ho detto. Nell'istante in cui l'attrito fa si che il punto di contatto abbia velocità nulla, si instaura puro rotolamento, e l'attrito diventa statico. Potrebbe però accadere che l'attrito statico non sia sufficiente a garantire il puro rotolamento, però, considerando il fatto che il coefficiente di attrito statico è sempre maggiore di quello dinamico, allora, se l'attrito dinamico è stato in grado di "raggiungere" l'accelerazione del baricentro, allora quello statico deve per forze essere in grado di "essere alla pari" dell'accelerazione del baricentro garantendo puro rotolamento, quindi in pratica l'attrito non dovrebbe invertisrsi nel moto di un disco, ma al massimo raggiungere la condizione di puro rotolamento.