Problema Corpo rigido

[M.C.D.]

Salve ragazzi stavo cercando di risolvere questo esercizio, essendo il primo approccio a questo nuovo capitolo relativo ai corpi rigidi mi sento un po spaesato

Un'asta omogenea di lunghezza $L$ e massa $m$ è appesa al sotto nel punto $A$ e può oscillare senza attrito nel piano verticale. All'altro estremo dell'asta, $B$, è saldata una sfera di massa $M$ e raggio $R$. Nel punto medio dell'asta è collegata una molla ideale che all'altro estremo è fissata alla parete verticale ad altezza $L/2$. La molla ha costante elastica non nota e lunghezza a riposo nulla. Inizialmente il sistema è in equilibrio e l'asta forma un angolo di $30°$ con l'asse verticale.

Calcolare la costante elastica della molla affinchè il sistema resti in equilibrio.



Affinchè ci sia equilibrio la risultante delle forze $R$ deve essere nulla. Cosi come la risultante dei momenti $M$ delle forze.
Pensavo di calcolare il centro di massa del sistema, dopodichè le forze agenti sono la forza peso nel centro di massa, e la forza elastica applicata nel punto medio dell'asta, che però non capisco com'è diretta. Come idea è corretta? Nell'estremo A agisce qualche altra forza?

Ringrazio chi saprà darmi qualche consiglio

[professorkappa]

Forza della molla diretta come OD
Nel punto A agisce la reazione del piano e della parete, ma se scrivi l'equilibrio del momento delle forze rispetto ad A, queste reazioni incognite non appaiono e te la cavi con poco

[mgrau]

La forza elastica è diretta come la molla OD; che altra direzione dovrebbe avere?
Poi basta che consideri i momenti rispetto ad A. La reazione in A non contribuisce al momento, e comunque metterà in pareggio le forze

[professorkappa]

PS. Non conviene perder tempo a calcolare la posizione del baricentro: fai conti in piu' inutilmente (anche se come ragionamento e' corretto)
Tratta le 2 forze peso sbarra e massa come forze separate. Posta i calcoli che te li verifichiamo

[M.C.D.]

Il momento della forza peso sulla sbarra rispetto al polo $A$ dovrebbe essere $mgl/2 sen\theta$
Il momento della forza elastica rispetto ad $A$ dovrebbe essere: $kl^2/4 sen\theta$
e quello della forza peso sulla massa $M$ dovrebbe essere $Mg(lsen\theta - Rcos\theta)$

Dopodichè imposto la condizione di equilibrio dei momenti e ricavo k.
I Calcoli fatti relativi ai momenti sono corretti?


Ne approfitto sempre per ringraziare per il tempo dedicatomi

[professorkappa]

Attento al momento della molla.
La lunghezza della molla e' $L/2sintheta/2$. E la direzione non e' ortogonale alla sbarra...
Il momento del peso del disco e' da rivedere anche mi sembra

[M.C.D.]

Attento al momento della molla.
La lunghezza della molla e' $L/2sintheta/2$. E la direzione non e' ortogonale alla sbarra...
Il momento del peso del disco e' da rivedere anche mi sembra

Io ho considerato la lunghezza della molla come la base di un triangolo isoscele di lato obliquo $L/2$, mi son tracciato l'altezza del triangolo isoscele (che poi sarà il braccio del momento della forza)
E applicando la trigonometria ottengo che metà lunghezza della molla è uguale a $L/2 sen(\theta/2)$ da cui l'intera lunghezza è $2 L/2 sen(\theta/2)$
Poi ho calcolato l'altezza del triangolo isoscele $l/2 cos(\theta//2)$ da cui il momento della forza elastica é:

$M = k * 2 L/2 sen(\theta/2) * L/2 cos(\theta/2)$

e poichè $2*sen(\theta/2) * cos(\theta/2) = sen(\theta)$ , da qui la mia precedente affermazione.
Dove sbaglio?

[professorkappa]

Va bene allora. Avevo visto $theta$ e mi ero insospettito ma non avevo fatto i conti.
Che mi dici del momento del peso del disco?

[M.C.D.]

Va bene allora. Avevo visto $theta$ e mi ero insospettito ma non avevo fatto i conti.
Che mi dici del momento del peso del disco?

Per il momento della forza peso della sfera ho scomposto la figura nel modo seguente:



A me interessa il segmento $AE$, mi son calcolato $BF$ come $BF = (BC)/tan(\theta)$
Dopodichè il lato $AF= AB - BF = L - R/tan(\theta)$
Poi ho applicato la trigonometria al triangolo $AFE$
da qui $AE = AF sen(\theta) = (L - R/tan(\theta))*sen(\theta)$
Ed il mio momento sarà $M_M = Mg*AE = Mg(Lsen(\theta) - Rcos(\theta))$

[professorkappa]

Si.
Pero' semplificati la vita: la forza peso della sfera ha una componente ortogonale all'asta $Mgsintheta$ e una componente parallela all'asta $Mgcostheta$.
Rispetto ad A, la prima componente ha braccio L e determina un momento $Mgsintheta*L$ (positivo), mentre la seconda ha braccio R e fa momento (negativo) $MgcosthetaR$
Quindi la somma dei 2 momenti e' $Mgsintheta*L-MgcosthetaR$

Un po' piu' semplice, no?