Dubbio su un campo di forze conservativo

[Fra Frusciante]

Un punto materiale di massa m si muove in una dimensione (si chiami x un asse in questa direzione) ed è soggetto a un campo di forze conservativo avente energia potenziale $U(x)=((x-a)^2)/b+c$
Se il corpo è inizialmente fermo nel punto avente posizione x=0 e lo si vuole portare nella posizione x1=a applicando un'opportuna forza esterna, qual è il lavoro minimo che deve fare tale forza?
Per risolvere questo esercizio ho semplicemente scritto: $L=-deltaU$ e poichè b e c sono costanti positiva ho ottenuto un lavoro positivo.
L'esercizio seguente è: si calcoli la componente x del campo di forza conservativo di cui sopra nel punto di coordinata x=0.
L'ho svolto derivando la funzione potenziale e ho ottenuto la componente della forza di segno positivo. (Sono sicuro che il risultato di questo sia corretto).
Il punto è questo: la risposta corretta del primo esercizio è che il lavoro sia negativo, ma proprio non riesco a capire perchè. La spiegazione che mi è stata data è:
- la forza dovuta al campo nel punto x=0 ha verso positivo, quindi per far sì che il corpo stia fermo in tale punto, la forza esterna deve avere stesso modulo ma verso opposto.
Questo davvero giustifica il fatto che tutto il lavoro compiuto dalla forza esterna sia negativo perchè di verso opposto allo spostamento?

[Fra Frusciante]

Quindi "traducendo" quello che viene chiesto la domanda è: qual è il lavoro necessario a fermare la particella nel punto x=a essendo essa soggetta a un campo di forze conservativo? A questo punto capisco che il lavoro sia negativo e però non si può più utilizzare $ L= -deltaU$ ma $L(forza esterna) = Em$ ma poichè la massa parte da ferma e alla fine di ferma si annulla la variazione di energia cinetica.

[professorkappa]

Il problema e' malposto, come nel 90% di questi casi.
Se le 3 costanti sono positive, allora la componente lungo x delle forze del campo (la chiamo F, senza pedice) si ottiene da

$F(x)=-[dU]/[dx]=-2(x-a)/b$

Ne consegue che le forze del campo sono positive per $x<a$
Il che significa che se tu porti la massa da a verso 0, LA FORZA DEL CAMPO fa lavoro negativo: lo spostamento e' negativo in una regione di campo dove le forze del campo sono positive.
Siccome la massa verso 0 non ci va sua sponte (o meglio, le forze del campo non ce la portano, perche tendono a muoverla da 0 verso a, tu devi applicare una forza almeno pari alla forza del campo, in senso opposto (negativa) che moltiplicata scalarmente per lo spostamento negativo, ti assicura che la forza esterna fa lavoro positivo.
Il corpo si muove di velocita' costante e per tenerlo fermo in 0 la forza esterna dovra' essere mantenuta, altrimenti il corpo se ne torna in a.

[Fra Frusciante]

Non so se ho capito bene, il punto è che il risultato corretto dell'esercizio (secondo il mio professore) è che la forza esterna compie lavoro negativo, infatti la richiesta è quella di portare la massa da 0 verso a.
Prendendo come positivo il verso dell'asse x e considerando solo la regione compresa da 0 ad a (a positiva) la forza del campo essendo positiva compie un lavoro positivo, quindi verso a la particella ci arriva già grazie al campo.
Che senso ha la domanda sulla forza esterna?

[professorkappa]

Questo e' il nodo del problema, e il motivo per cui il problema e' mal posto.
Le forze del campo portano gia' il corpo da 0 verso a, e compiono lavoro positivo.
La forza esterna serve solo a frenare questo movimento spontaneo, e pertanto deve compiere lavoro negativo (essendo opposta alle forze del campo e muovendosi positivamente. In questo senso il lavoro e' negativo.
La domanda corretta e' "determinare il lavoro che una forza esterna deve fare per far si che il corpo percorra la distanza da 0 ad a a velocita' costante".
Perche' nulla vieta che io applichi una forza esterna positiva: il corpo si spostera; sempre da 0 ad a, solo che accelerera' a causa della forza esterna (mia) e delle forze del campo.
Insomma, se non specifica cosa cavolo vuole, il lavoro della forza esterna dipende dal modulo della forza.
E se io ci applico 100KN? O 1,000KN? o 10,000kN???

[anonymous_0b37e9]

@ professorkappa

Prima di tutto un saluto. Non ho capito per quale motivo sostieni che il problema sia mal posto.

Se il corpo è inizialmente fermo nel punto avente posizione $[x=0]$ e lo si vuole portare nella posizione $[x=a]$ applicando un'opportuna forza esterna, qual è il lavoro minimo che deve fare tale forza?

Applicando il teorema delle forze vive con le notazioni sottostanti:

$L_e$: lavoro della forza esterna

$L_c$: lavoro della forza conservativa

$v_0$: velocità nel punto di ascissa $[x=0]$

$v$: velocità nel punto di ascissa $[x=a]$

$[L_e+L_c=1/2mv^2-1/2mv_0^2] ^^ [v_0=0] rarr [L_e=-L_c+1/2mv^2]$

il lavoro minimo sia ha per $[v=0]$:

$[v=0] rarr L_e^min=-L_c$

A rigore, se non mi sto perdendo qualcosa, il testo dell'esercizio dovrebbe essere esente da incomprensioni.

[professorkappa]

Non credo che tu ti perda mai nulla, vecchia volpe. Pero' dubito che lo studente abbia gia affrontato il teorema delle forze vive.
Per me il punto e' ambiguo
Il lavoro MINIMO che una forza esterna deve fare per portare il corpo da 0 ad A e' nullo. Il corpo si porta gia', per effetto della forza del campo, da 0 ad A.
Ok, tu dirai, ma il lavoro che faccio io e' minore del tuo perche tu sei a zero, io sono a un valore piu' basso, perche' negativo.

In altre parole, io la vedo il lavoro della forza esterna come un'energia spesa: se tu la spendi per rallentare il corpo, stai spendendo soldi. Io, invece, non spendo energia: non applico nessuna forza e il corpo ci va da se.

Non so se mi sono spiegato.

[anonymous_0b37e9]

Ciao professorkappa. Ho capito perfettamente il tuo punto di vista. Ora, analizzando attentamente la seguente proposizione:

Se il corpo è inizialmente fermo nel punto avente posizione $[x=0]$ e lo si vuole portare nella posizione $[x=a]$ applicando un'opportuna forza esterna, qual è il lavoro minimo che deve fare tale forza?

tutto si riduce nell'interpretare il seguente stralcio:

... e lo si vuole portare nella posizione $[x=a]$ applicando un'opportuna forza esterna ...

I problemi di interpretazione dovrebbero essere addirittura due e connessi tra loro: interpretazione 1.a) con 2.a), interpretzione 1.b) con 2.b).

1) ... e lo si vuole portare nella posizione $[x=a]$ ...

1.a) Il punto materiale nella posizione $[x=a]$ deve avere velocità uguale a zero.

1.b) Il punto materiale nella posizione $[x=a]$ può avere velocità diversa da zero.

Per quanto mi riguarda, tendo ad interpretare il verbo "portare" nel senso che il punto materiale, raggiunta la posizione $[x=a]$, deve restarci.

2) ... applicando un'opportuna forza esterna ...

2.a) La forza esterna deve essere divera da zero.

2.b) La forza esterna può essere uguale a zero.

Per quanto mi riguarda, tendo ad escludere il caso limite in cui la forza è uguale a zero, altrimenti l'esercizio perderebbe gran parte del suo significato.

In definitiva, volendo mantenersi il più possibile aderenti al testo, credo che tu abbia ragione. Tuttavia, ammettendo di considerare anche il "non scritto" e considerando che l'altra interpretazione è spesso utilizzata quando si tratta la variazione di energia potenziale, quest'ultima ha probabilmente più ragione di esistere. Se fosse un quiz e mi venisse chiesto di valutarlo, le darei buone entrambe.

P.S.
Non mi dispiacerebbe conoscere le opinioni di coloro che frequentano più assiduamente il forum.

[professorkappa]

Eh, si, il fatto che "credi che io abbia ragione" e io credo che anche tu abbia ragione e' un'indicazione dell'ambiguita' del testo.
Io lo metterei da parte e cercherei di spiegare allo studente i principi fondamentali (mi sembra che questo lo abbiamo fatto, se ci sono ancora dubbi da parte sua, sicuramente rispondera' e chiedera' spiegazioni)

[anonymous_0b37e9]

Ok.