esercizio conservazione momento angolare

[matteo_g]

Ciao, questo è l'esercizio:



ho provato a risolvere questo esercizio nel seguente modo ma non sono arrivato alla corretta soluzione:

1) per trovare la velocità con cui il blocchetto impatta l'asta ho usato il principio di conservazione dell'energia meccanica

$ mgh=1/2*m(v)^2 $ ottenendo $ v=1.98 m/s $

2) ho usato il principio di conservazione del momento angolare rispetto all'asse di rotazione per trovare la velocità angolare subito dopo l'impatto del sistema sbarra + blocchetto

$ mvd=(Isb+Ib)*W $ , per il momento d'inerizia della sbarra ho usato il teorema degli assi paralleli ottenendo $ W=2.98 (rad)/s $

ora arriva il problema...
3) volevo usare la conservazione dell'energia meccanica per trovare l'altezza che veniva raggiunta dal blocchetto, ma avendo "due masse" sia quella della cdm della sbarra che quella del blocchetto ho deciso di calcolare il cdm di entrambi "lungo l'asse y" ottenendo come valore y=0.133m (considerando come y=0 il punto più basso dello scivolo).
a questo punto è come se avessi un'unico punto ad H=0.133 nel momento subito successivo all'urto.
Ponendo ADESSO per quanto riguarda la conservazione dell'energia meccanica U=0 proprio nel punto y=0.133 andrei a scrivere:

$ Emeci=Emecf $
$ (1/2)*(Isb+Ib)*(W)^2=MgH $ con M la somma della massa del blocchetto e della sbarra.
ora ho trovato H e poi fatto considerazioni trigonometriche per trovare l'angolo.
Cosa c'è che non va? presumo che il problema sia in questi ultimi passaggi.
Grazie!!

[BigDummy]

Secondo me devi calcolarti il centro di massa di sbarra+ massa m . Poi imposti la conservazione dell'energia meccanica, come nel caso del pendolo fisico :
$E_i = K_i + U_i = 1/2 (I_o + md^2) omega_o ^2 + 0 $
$E_f = K_f + U_f = 0 + (M+m)g (y_(cm) - y_(cm)costheta) $

Aspetta un 'altra risposta però...

[professorkappa]

Forse sbagli il calcolo del momento di inerzia? Non e' chiaro dalla tua risoluzione.
Comunque, secondo me e' piu' veloce calcolare il tutto senza ricorrere al baricentr0

Immediatamente dopo l'urto

$1/2(I_O+mL^2)omega^2+MgL/2$

Qundo la sbarra si arresta

$mg(L-Lcostheta)+Mg(L-L/2costheta)$

$1/2(I_O+mL^2)omega^2+MgL/2=mg(L-Lcostheta)+Mg(L-L/2costheta)$

[matteo_g]

Allora, su come hai impostato tu il calcolo sono perfettamente d'accordo ed il risultato torna corretto. Quindi anche per quanto riguarda il momento d'inerzia e gli altri calcoli non ci sono problemi. Non riesco però a capire cosa c'è di sbagliato nell'impostazione della conservazione dell'energia "passando" per il centro di massa. E' forse un errore concettuale?

[professorkappa]

Ah, perche tu concentri la massa nel baricentro per calcolare l'en. cin???
Non lo puoi mica fare. O meglio lo puoi fare ma devi considerare che L'energia di rotazione $E_K=1/2I_gomega^2$ ($I_G$ e' calcolato rispetto al baricentro) e poi devi aggiungere $1/2mv_g^2$

Considera una sbarra lunga L che ruota. Il suo momento di inerzia rispetto al polo di rotazione e' $I_O=[ML^2]/3$
L'energia cinetica e' $1/2[ML^2]/3omega^2$

Ora concentra la massa nel baricentro. Se, come fai tu, calcoli usando il momento $I_O$ rispetto al polo, che e' $M[L/2]^2=[ML^2]/4$, concentrando la massa nel baricentro, l'energia cinetica dovrebbe essere $1/2[ML^2]/4omega^2$, in netta contraddizione col risultato trovato prima.

Pero' se concentri la massa in G e calcoli secondo l'equazione canonica, $I_G=ML^2/12$ e $v_G=omegaL/2$ da cui
$E_k=1/2[ML^2/12]omega^2+1/2v_G^2=1/2[ML^2/12]omega^2+1/2M(omegaL/2)^2=1/2[ML^2]/3omega^2$

Questo perche la sbarra e' un corpo esteso: il contributo all'energia cinetica di ogni singolo elemento dx non e' costante lungo la sbarra: le parti vicine al punto di rotazione dalnno meno contributo delle parti distanti. Concentrando tutto nel baricentro perdi questa informazione.