Esercizio di Fluidodinamica

[Frink88]

Ciao, avrei dei dubbi sulla risoluzione del seguente esercizio:
In un lago artificiale, alla profondità di $h=3m$, si trova l'imbocco di un condotto orizzontale di $L=12cm$ di diametro che attraversa lo sbarramento del bacino artificiale. Si determini
a) la forza minima che deve esercitare il sistema di chiusura all'altro estremo del condotto per evitare la fuoriuscita di acqua.
b) Se il condotto viene aperto, si determini quanta acqua fuoriesce nei primi 20 minuti.

Tentativo di soluzione
a)Ho pensato di calcolare la pressione ai due estremi del condotto, confrontarle, e la loro differenza di pressione, conoscendo la sezione del tubo, mi permette di calcolare la forza necessaria a eguagliarle, ma non sono sicuro di aver impostato correttamente le equazioni:
Estremo 1: $p_1=p_(atm)+rhogh$
Estremo 2: $p_2=p_(atm)$ (anche se il tubo è orizzontale l'estremo 2 non è piu sott'acqua quindi è corretto considerare $h=0$?)
$p_1-p_2=29430Pa$ quindi all'estremo 2 ci deve essere una forza di $F=(p_1-p_2)S=29430*pi*0,06^2=294,3N$
Non sono molto sicuro del procedimento che ho seguito, e per il punto b)?

[professorkappa]

Il livello di riferimento lo scegli tu.
Siccome hai scelto come livello l'asse del tubo, i conti sono corretti.
Per il punto B, Bernoulli risolve egregiamente, se consideri come sezioni di controllo la superficie del lago da una parte (la velocita' di abbassamento e' trascurabile) e la sezione di uscita del tubo. Prova a impostare

[Frink88]

Professorkappa ormai sei una garanzia, speravo leggessi .
Bernoulli lo imposterei così:
$p_1+rhogh_1+1/2rhov_1^2=p_2+rhogh_2+1/2rhov_2^2$ (1=imbocco del condotto, 2=estremo da cui esce acqua)
$p_(atm)+rhogh+rhogh+0=p_(atm)+0+1/2rhov_2^2$
$v_2=2sqrt(gh)$
Ora dalla formula della portata $Q=Sv_2$ ottengo quanti $m^3$ escono al secondo da cui ricavo facilmente quanti ne escono in 20 minuti.
Di nuovo i dubbi mi sorgono relativamente alle 2 altezze.

[professorkappa]

C'e' molta gente meglio di me qui, ma grazie del complimento.

C'e' un piccolo errore. Il punto e' che devi scegliere un livello.
Prendi come riferimento il livello del lago. Su questa sezione

$p_a/[rhog]+1/2v^2/g+h$

$p_a$ epressione atmosferica
$v$ velocita del pelo libero del lago (nulla perche trascurabile)
$h$ altezza del pelo libero rispetto al pelo libero: zero, ovviamente, l'ho appena assegnato io arbitrariamente.

Quindi per il pelo libero vale $p_a/[rhog]$


All uscita del tubo (che e' h metri sotto il pelo libero del lago)

$p_a/[rhog]+1/2v_1^2-h$

Quindi
$p_a/[rhog]=p_a/[rhog]+1/2v_1^2/g-h$

NOTA che $h$ e' negativo perche' per me lo zero-h e' a livello lago.

Da qui, tenuto conto dei valori espressi sopra, e semplificando il semplificabile,

$1/2v_1^2/g-h=0$ e cioe' $v_1=sqrt(2gh)$

Rifacciamolo prendendo come zero-h il fondo del lago, profondo d, e riconsiderando le stesse sezioni:

Superficie del lago:

$p_a/[rhog]+1/2v^2/g+d$

Impoccatura del tubo:

$p_a/[rhog]+1/2v_1^2/g+(d-h)$

Quindi
$p_a/[rhog]+1/2v^2/g+d=p_a/[rhog]+1/2v_1^2/g+(d-h)$

Ricordando, sempre, che $v=0$ e semplificando

$1/2v_1^2/g-h=0$ che e' la stessa di prima.

Ancora, pedantemente, scegliamo come livello 0 l'asse del tubo

Per la superficie del lago vale

$p_a/[rhog]+1/2v^2/g+h$

Per la bocca di deflusso (che ora ha h=0)

$p_a/[rhog]+1/2v_1^2/g$

Da cui $p_a/[rhog]+1/2v^2/g+h=p_a/[rhog]+1/2v_1^2/g$

e pertanto, ovviamente, $v_1=sqrt(2gh)$

Scegli il livello 0. Da li in poi sono calcoli da terza elementare

[Frink88]

Tutto chiaro, avrei potuto usare anche il teorema di Torricelli allora, le cui ipotesi sono rispettate avendo considerato trascurabile la velocità del pelo libero dell'acqua, e che mi avrebbe risparmiato il piccolo errore. Ti ringrazio molto.