Relazione tra definizioni di derivata di un vettore
Inviato: 18/02/2018, 23:57
Salve a tutti, sono nuovo nel forum, e non sono sicuro che questa sia la sezione giusta.
Veniamo al dunque: il mio testo di fisica definisce la derivata temporale di un vettore $\mathbf{v} \in \mathbb{R^{3}}$, $\mathbf{v} \equiv (v_x, v_y, v_z)$, come $\frac{d \mathbf{v}}{dt} \equiv (\frac{dv_x}{dt}, \frac{dv_y}{dt}, \frac{dv_z}{dt})$. Ora, se esprimiamo il nostro $\mathbf{v}$ come $\hat i v_x + \hat j v_y + \hat k v_z$, dove $\hat i$, $\hat j$ e $\hat k$ sono i versori degli assi cartesiani, e deriviamo rispetto al tempo, sempre stando alle parole del testo, dovremo ottenere:
$\frac{d \mathbf{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(\hat i v_x + \hat j v_y + \hat k v_z) = \frac{d}{dt}(v_x \hat i) + \frac{d}{dt}(v_y \hat j) + \frac{d}{dt}(v_x \hat k)$. Quindi, essendo nel caso di modulo e direzione di $\mathbf v$ non costanti, abbiamo:
$\frac{d \mathbf{v}}{dt} = (\hat i \frac{dv_x}{dt} + \hat j \frac{dv_y}{dt} + \hat k \frac{dv_z}{dt}) + v_x \mathbf{\omega} \times \hat i + v_y \mathbf{\omega} \times \hat j + v_z \mathbf{\omega} \times \hat k$, ove $\mathbf{\omega}$ è il vettore velocità angolare in accordo alle formule di Poisson.
Che relazione c'è tra le "due" derivate? Nel senso, mi sto chiedendo perché con il secondo metodo non trovo qualcosa di uguale a $(\hat i \frac{dv_x}{dt} + \hat j \frac{dv_y}{dt} + \hat k \frac{dv_z}{dt})$, come mi aspetterei nel caso dovessi scrivere la prima formula come combinazione lineare dei versori degli assi.
Veniamo al dunque: il mio testo di fisica definisce la derivata temporale di un vettore $\mathbf{v} \in \mathbb{R^{3}}$, $\mathbf{v} \equiv (v_x, v_y, v_z)$, come $\frac{d \mathbf{v}}{dt} \equiv (\frac{dv_x}{dt}, \frac{dv_y}{dt}, \frac{dv_z}{dt})$. Ora, se esprimiamo il nostro $\mathbf{v}$ come $\hat i v_x + \hat j v_y + \hat k v_z$, dove $\hat i$, $\hat j$ e $\hat k$ sono i versori degli assi cartesiani, e deriviamo rispetto al tempo, sempre stando alle parole del testo, dovremo ottenere:
$\frac{d \mathbf{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(\hat i v_x + \hat j v_y + \hat k v_z) = \frac{d}{dt}(v_x \hat i) + \frac{d}{dt}(v_y \hat j) + \frac{d}{dt}(v_x \hat k)$. Quindi, essendo nel caso di modulo e direzione di $\mathbf v$ non costanti, abbiamo:
$\frac{d \mathbf{v}}{dt} = (\hat i \frac{dv_x}{dt} + \hat j \frac{dv_y}{dt} + \hat k \frac{dv_z}{dt}) + v_x \mathbf{\omega} \times \hat i + v_y \mathbf{\omega} \times \hat j + v_z \mathbf{\omega} \times \hat k$, ove $\mathbf{\omega}$ è il vettore velocità angolare in accordo alle formule di Poisson.
Che relazione c'è tra le "due" derivate? Nel senso, mi sto chiedendo perché con il secondo metodo non trovo qualcosa di uguale a $(\hat i \frac{dv_x}{dt} + \hat j \frac{dv_y}{dt} + \hat k \frac{dv_z}{dt})$, come mi aspetterei nel caso dovessi scrivere la prima formula come combinazione lineare dei versori degli assi.