Anzitutto, grazie per la risposta!
Ora, a parte il fatto che la mia domanda era un'altra, e proverò a riformularla nel seguito con maggiore precisione (l'altro giorno ero fuori giri per la giornata intensa di studio e quindi è venuta fuori quella domanda incomprensibile
), leggendo quanto da te scritto sorgono alcuni dubbi che sottopongo.
Procedo con ordine...
Vulplasir ha scritto:Non hai fatto un corso di meccanica razionale? Sembra strano che tu non abbia mai sentito parlare di equazioni di Lagrange.
Ricordo che il professore presentò il metodo di Lagrange per lo studio di sistemi vincolati senza soffermarsi sulla sua formalizzazione precisa, concentrandosi maggiormente su D'Alembert. In particolare, ci tenne a sottolineare come alla base di questo metodo ci sia la geometrizzazione delle forze e degli spostamenti. Per farmi comprendere meglio, riporterò lo stesso esempio che fece il prof
ille tempore.
Si consideri un punto materiale $P$ poggiato su un piano: in prima battuta, si può modellizzare questo sistema tramite l'applicazione di vincolo bilaterale che obbligherà il punto $P$ ad appartenere al piano. Si avrà quindi che:
- notando come la quota $z_P$ di $P$ deve soddisfare l'equazione cartesiana $z_P=-a/c x_P -b/c y_P -d/c$, al posto delle reazioni vincolari $f_v$ scriverò le coordinate di $P$ come $(x_p,y_p,-a/c x_P -b/c y_P -d/c)$;
- per quanto riguarda i possibili spostamenti, si introduce il concetto di spostamento virtuale. (non lo farò perché sono pigro...
)
Ed il "gioco" è fatto perché ho eliminato le incognite reazioni vincolari, indispensabili ma problematiche per il modello di Newton, senza trascurare la presenza del vincolo. L'esempio fatto fa riferimento ad un caso molto semplice, ma all'aumentare della complessità del vincolo applicato o della geometria del sistema questo metodo potrebbe risultare molto più difficile da utilizzare. Qui finiva l'esempio e si proseguiva con D'Alembert dopo essere passati per il PLV, dimostrando la sua semplicità.
Se non erro, questo esempio spiega più o meno quello che dici tu nel seguente passaggio
Vulplasir ha scritto:Ecco, questa è essenzialmente l'equazione di Lagrange per il punto materiale, esplicitando l'espressione di $hatv$ e $a$ in funzione delle coordinate lagrangiane del sistema si ottiene quella espressione delle equazioni di Lagrange. In pratica quindi il metodo di Lagrange consiste nel proiettare le forze agentu sul sistema tangenzialmente ai vincoli, in tal modo si eliminano le reazioni vincolari e si può studiare il moto del sistema senza preoccuparsi delle reazioni vincolari.
o mi sbaglio?
Le equazioni di Eulero-Lagrange spiegatemi negli ultimi corsi mi sembrano invece molto diverse: qui l'equazione del moto è ottenuta analizzando l'aspetto energetico del sistema in esame (come fai capire anche da $(f+f_
in)*hatv=0$), tant'è che questo procedimento può essere spiegato partendo dalla teoria hamiltoniana ed il principio di minima azione. Però in questo modo non sembrerebbe esserci una gran differenza di fondo tra Lagrange e D'Alembert: sto confondendo o trascurando qualcosa? Sicuramente sto perdendo di vista il nesso tra la meccanica razionale e quanto spiegatomi ultimamente (ammesso che esista).
La mia domanda, comunque, faceva riferimento alla dualità statica-cinematica che deriva dal PLV, dimostrata approfonditamente in quest'altra discussione
viewtopic.php?f=19&t=57566 : anche rileggendola attentamente, quello che continuo a non capire è se il vettore delle coordinate generalizzate $\underline{s}$ e quello dei cedimenti dei vincoli $\underline{r}$ devono essere composti solo da spostamenti o se tra i termini possono esserci anche velocità. Tale domanda nasce dal fatto che è possibile definire sistemi vincolati non solo in posizione, ma anche in velocità (ovviamente il sistema meccanico dovrà essere almeno labile, altrimenti il vincolo non vincolerebbe un bel niente e rappresenterebbe solo una ridondanza che non capisco molto). Supponendo che tali vincoli siano olonomi oltre che lisci, essi potranno essere espressi da funzioni differenziali integrabili del tipo $f_v(\dot{s}_i,s_i)=0$. Per questi vincoli, il PLV dovrebbe ancora essere valido, e quindi anche la dualità tra la quantità $f$=forza/coppia/tensione e l'ente cinematico $s$=traslazione/rotazione/deformazione o velocità di traslazione/rotazione/deformazione: in tal caso, non utilizzerei più il termine
"statica" per le forze, ma piuttosto
"dinamica" visto che fa riferimento a corpi in moto. Ribadendo ancora una volta,
dualismo dinamica-cinematica al posto di
dualismo statica-cinematica.
Come detto prima, sto studiando i sistemi vincolati attraverso la teoria lagrangiana, da cui il titolo di questa discussion.
Tuttavia, forse una risposta già me l'hai data con questa precisazione, non trovi?
Vulplasir ha scritto: [...] o alle velocità virtuali del sistema, è la stessa cosa".
La mia non-padronanza dell'argomento discende probabilmente dal non riuscire a trovare un esempio nella vita reale di vincolo alla velocità di un sistema: riesci ad aiutarmi in questo senso?
Altra cosa che ho poco chiara sono le conseguenze della dualità derivante dal PLV: l'unica cosa realmente utile è la possibilità di individuare le deformazioni delle strutture con l'ausilio della "dummy structure"?
Grazie ancora e scusa per l'infinito post di risposta...
Con l’aiuto della scienza ha il fascino di trasformare un pensiero in linee di un progetto per realizzarlo poi in pietra o metallo o energia.