Dualità cinematica-dinamica: da PLV al principio di Lagrange

[SKai]

Salve a tutti.
Spero di trovarmi nella sezione giusta pur essendo uno studente di ingegneria meccanica e non di fisica.
Ho cercato attentamente quanto sto per chiedere (non solo in quest'area), ma non ho trovato nulla di simile: mi scuso a priori qualora mi fossi sbagliato.

In uno degli ultimi corsi che ho seguito, le equazioni del moto di un generico sistema meccanico con N gradi di libertà vengono ricavate attraverso le equazioni di Eulero-Lagrange, che seguono nella loro espressione matriciale:
\(\displaystyle \{\frac{d^2}{d t^2} (\frac{\partial E_{c}}{\partial \dot{\underline{q}}})\}^T - \{\frac{\partial E_{c}}{\partial \underline{q}}\}^T + \{\frac{\partial D}{\partial \dot{\underline{q}}}\}^T + \{\frac{\partial V}{\partial \underline{q}}\}^T = \underline{Q}\)
Non essendo abituato a questo "nuovo" metodo (ho sempre utilizzato D'Alembert) ho provato a capire un po' di più da dove provenissero queste equazioni.
Se ho capito bene, esse derivano direttamente dal principio dei lavori virtuali. Ricordo che grazie al PLV è possibile determinare il dualismo tra enti cinematici e statici, così mi chiedevo se grazie ad Eulero-Lagrange fosse possibile definire il dualismo tra enti cinematici e dinamici. Ciò che intendo è che: come in statica per ogni ente cinematico (traslazione, rotazione, ...) è possibile individuare il duale statico (risultante delle forze, risultante dei momenti, ...), io vedo la stessa dualità nella dinamica, ma non so se è erroneo ragionare in questo senso.

Sperando di essere stato chiaro e di non aver detto scemenze,
Vi ringrazio anticipatamente.

[Vulplasir]

Non hai fatto un corso di meccanica razionale? Sembra strano che tu non abbia mai sentito parlare di equazioni di Lagrange.
In pratica, in un sistema meccanica a N gdl, applicare Newton con $f+f_v=ma$ non conviene perché tra le forze vi sono anche le reazioni vincolari $f_v$ a cui è soggetto il sistema, incognite, che rendono indeterminato il problema. Quindi, mettendosi in condizioni di vincoli lisci (le equazini di Lagrange valgono solo per vincoli lisci), si può ovviare al problema delle reazioni vincolari incognite assumendo valido il cosiddetto "principio dei lavori virtuali", ossia: "le reazioni esplicate da un vincolo liscio sono ortogonali agli spostamenti virtuali del sistema, o alle velocità virtuali del sistema, è la stessa cosa". Prendiamo per semplicità un unico punto materiale, grazie a d'Alembert l'equazione del suo moto può essere scritta come:

$f+f_v+f_(i n)=0$, dove $f_(i n)=-ma$, quindi, moltiplicando scalarmente la precedente equazione per una generica velocità virtuale del punto:

$(f+f_v+f_(i n))*hatv=0$

ma dato che per il PLV risulta $f_v*hatv=0$ allora risulta:

$(f+f_(i n))*hatv=0$

Ecco, questa è essenzialmente l'equazione di Lagrange per il punto materiale, esplicitando l'espressione di $hatv$ e $a$ in funzione delle coordinate lagrangiane del sistema si ottiene quella espressione delle equazioni di Lagrange. In pratica quindi il metodo di Lagrange consiste nel proiettare le forze agentu sul sistema tangenzialmente ai vincoli, in tal modo si eliminano le reazioni vincolari e si può studiare il moto del sistema senza preoccuparsi delle reazioni vincolari.

[SKai]

Anzitutto, grazie per la risposta!
Ora, a parte il fatto che la mia domanda era un'altra, e proverò a riformularla nel seguito con maggiore precisione (l'altro giorno ero fuori giri per la giornata intensa di studio e quindi è venuta fuori quella domanda incomprensibile ), leggendo quanto da te scritto sorgono alcuni dubbi che sottopongo.
Procedo con ordine...

Non hai fatto un corso di meccanica razionale? Sembra strano che tu non abbia mai sentito parlare di equazioni di Lagrange.

Ricordo che il professore presentò il metodo di Lagrange per lo studio di sistemi vincolati senza soffermarsi sulla sua formalizzazione precisa, concentrandosi maggiormente su D'Alembert. In particolare, ci tenne a sottolineare come alla base di questo metodo ci sia la geometrizzazione delle forze e degli spostamenti. Per farmi comprendere meglio, riporterò lo stesso esempio che fece il prof ille tempore.
Si consideri un punto materiale $P$ poggiato su un piano: in prima battuta, si può modellizzare questo sistema tramite l'applicazione di vincolo bilaterale che obbligherà il punto $P$ ad appartenere al piano. Si avrà quindi che:

- notando come la quota $z_P$ di $P$ deve soddisfare l'equazione cartesiana $z_P=-a/c x_P -b/c y_P -d/c$, al posto delle reazioni vincolari $f_v$ scriverò le coordinate di $P$ come $(x_p,y_p,-a/c x_P -b/c y_P -d/c)$;

- per quanto riguarda i possibili spostamenti, si introduce il concetto di spostamento virtuale. (non lo farò perché sono pigro... )

Ed il "gioco" è fatto perché ho eliminato le incognite reazioni vincolari, indispensabili ma problematiche per il modello di Newton, senza trascurare la presenza del vincolo. L'esempio fatto fa riferimento ad un caso molto semplice, ma all'aumentare della complessità del vincolo applicato o della geometria del sistema questo metodo potrebbe risultare molto più difficile da utilizzare. Qui finiva l'esempio e si proseguiva con D'Alembert dopo essere passati per il PLV, dimostrando la sua semplicità.
Se non erro, questo esempio spiega più o meno quello che dici tu nel seguente passaggio

Ecco, questa è essenzialmente l'equazione di Lagrange per il punto materiale, esplicitando l'espressione di $hatv$ e $a$ in funzione delle coordinate lagrangiane del sistema si ottiene quella espressione delle equazioni di Lagrange. In pratica quindi il metodo di Lagrange consiste nel proiettare le forze agentu sul sistema tangenzialmente ai vincoli, in tal modo si eliminano le reazioni vincolari e si può studiare il moto del sistema senza preoccuparsi delle reazioni vincolari.

o mi sbaglio?

Le equazioni di Eulero-Lagrange spiegatemi negli ultimi corsi mi sembrano invece molto diverse: qui l'equazione del moto è ottenuta analizzando l'aspetto energetico del sistema in esame (come fai capire anche da $(f+f_in)*hatv=0$), tant'è che questo procedimento può essere spiegato partendo dalla teoria hamiltoniana ed il principio di minima azione. Però in questo modo non sembrerebbe esserci una gran differenza di fondo tra Lagrange e D'Alembert: sto confondendo o trascurando qualcosa? Sicuramente sto perdendo di vista il nesso tra la meccanica razionale e quanto spiegatomi ultimamente (ammesso che esista).

La mia domanda, comunque, faceva riferimento alla dualità statica-cinematica che deriva dal PLV, dimostrata approfonditamente in quest'altra discussione viewtopic.php?f=19&t=57566 : anche rileggendola attentamente, quello che continuo a non capire è se il vettore delle coordinate generalizzate $\underline{s}$ e quello dei cedimenti dei vincoli $\underline{r}$ devono essere composti solo da spostamenti o se tra i termini possono esserci anche velocità. Tale domanda nasce dal fatto che è possibile definire sistemi vincolati non solo in posizione, ma anche in velocità (ovviamente il sistema meccanico dovrà essere almeno labile, altrimenti il vincolo non vincolerebbe un bel niente e rappresenterebbe solo una ridondanza che non capisco molto). Supponendo che tali vincoli siano olonomi oltre che lisci, essi potranno essere espressi da funzioni differenziali integrabili del tipo $f_v(\dot{s}_i,s_i)=0$. Per questi vincoli, il PLV dovrebbe ancora essere valido, e quindi anche la dualità tra la quantità $f$=forza/coppia/tensione e l'ente cinematico $s$=traslazione/rotazione/deformazione o velocità di traslazione/rotazione/deformazione: in tal caso, non utilizzerei più il termine "statica" per le forze, ma piuttosto "dinamica" visto che fa riferimento a corpi in moto. Ribadendo ancora una volta, dualismo dinamica-cinematica al posto di dualismo statica-cinematica.
Come detto prima, sto studiando i sistemi vincolati attraverso la teoria lagrangiana, da cui il titolo di questa discussion.
Tuttavia, forse una risposta già me l'hai data con questa precisazione, non trovi?

[...] o alle velocità virtuali del sistema, è la stessa cosa".

La mia non-padronanza dell'argomento discende probabilmente dal non riuscire a trovare un esempio nella vita reale di vincolo alla velocità di un sistema: riesci ad aiutarmi in questo senso?
Altra cosa che ho poco chiara sono le conseguenze della dualità derivante dal PLV: l'unica cosa realmente utile è la possibilità di individuare le deformazioni delle strutture con l'ausilio della "dummy structure"?

Grazie ancora e scusa per l'infinito post di risposta...

[professorkappa]

ille tempore.

ILLO tempore

[SKai]

ille tempore.

ILLO tempore

Mea culpa, refuso.

E per quanto riguarda tutto il resto?
...

[Vulplasir]

Il PLV non è qualcosa dalla definizione precisa, in diversi ambiti della meccanica assume significati e definizioni diversi, che possono non c'entrare niente tra loro. Mi pare che tu ti riferisca alla meccanica delle strutture, dalla meccanica delle strutture, alla meccanica dei continui, a quella dei corpi rigidi etc il PLV assume definizioni che non c'entrano niente tra loro, sono cose completamente diverse. Quello di cui ti parlavo io è riferito a un sistema meccanico a N gdl vincolato da vincoli lsci olonomi bilateri del tipo $f(x,y,z)=0$, in meccanica dei continui invece, specialmente nella teoria dell'eleasticità lineare, il PLV assume significato di uguaglianza tra lavoro esterno su un continuo e lavoro interno se sono verificate le equazioni di bilancio e di congruenza etc (e non è un principio, se si assumono valide le equazioni di bilancio e congruenza, allora è un teorema, viceversa si può assumere come principio primo, e ricavare in forma debole le equzioni di bilancio e congruenza, come avviene nei metodi a elementi finiti). In meccanica delle strutture invece non so bene come sia definita, ma dovrebbe avere a che fare qualcosa con tutte e due le definizioni di prima.

oncentrandosi maggiormente su D'Alembert

Anche qui, cosa intendi con d'Alembert? Non esiste qualcosa di universalmente riconosciuto come principio di d'Alembert, a seconda di cosa si tratta può riferirsi a cose diverse...un mio prof. per esempio chiama il plv come principio di d'alembert etc.

Sicuramente sto perdendo di vista il nesso tra la meccanica razionale e quanto spiegatomi ultimamente (ammesso che esista).

esiste e non-esiste...un modello generale per qualcosa è e rimane qualcosa di generale e poco definito, per applicarlo a casi particolare bisogna fare delle modifiche a accorgimenti affidandosi però alla teoria generale. La meccanica razionale ti parla in astratto di vincoli e reazioni vincolari, la meccanica dei continui ti parla in astratto di lavoro esterno e interno...nella meccanica delle strutture hai a che fare con strutture vere e vincoli veri, bisogna quindi adattare il concetto di vincolo e PLV (per esempio la teoria della trave richiede accorgimenti e modifiche rispetto alla teoria dei corpi continui di cauchy, infatti un corpo di cauchy interagisce solo con forze e l'elemento materiale è un punto, nelle travi l'elemento materiale è una sezione rigida che puà interagire con forze e momenti).

In parole povere, non esiste nessuna reale differenza tra tutti questi principi di cui si sta parlando, sono tutti pià o meno equivalenti, tutti descrivono la meccanica in senso classico, sono solo riformulazioni diverse utili in ambiti diversi. Il metodo di Lagrange è utile nei sistemi meccanici vincolati con tanti gradi di libertà e capaci di movimenti finiti, per esempio i sistemi "multibody" (infatti una volta trovate le coordinate lagrangiane per il sistema, le equazioni del moto si trovano derivando le equazioni di lagrange, anche qui chiaramente bisogna adattare la teoria generale ai vari casi particolari, infatti può essere difficile trovare esattamente N gdl indipendit, quindi se ne possono trovare di più e modificare le equazioni di lagrange a seconda dei casi, si parla di "formulazione ridondante delle equazioni di Lagrange")

Il metodo del plv/d'alembert che sia è invece più utile nella dinamica delle strutture, in cui i gradi di libertà sono pochi o nulli, quindi non abbiamo bisogno di trovare equazioni di moto ma di equilibrio.

ale domanda nasce dal fatto che è possibile definire sistemi vincolati non solo in posizione, ma anche in velocità

Si, si tratta di vincoli anolonomi, la teoria generale dei vincoli anolonomi non è semplice (e nemmeno completa credo), esistono delle equazioni di Lagrange per tali vincoli, e chiaramente l'applicazione a qualche caso particolare anche qui richiede opportuni accorgimenti. I vincoli alle velocità sono essenzialmente vincoli alle possibile velocità che il sistema può assumere,e quindi vincoli non sulle posizioni assunte dal sistema (infatti a vincolare le posizioni assunte dal sistema ci pensano i vincoli olonomi), ma sulle possibili traiettorie che il sistema può compiere per raggiungere una determinata posizione compatibile con i vincoli olonomi a un'altra compatibile con quelli olonomi. Per esempio, una ruota che rotola senza strisciare su un piano (si badi bene, su un piano, non una retta) è vincolata da un vincolo anolonomo, infatti il punto di contatto è vincolato ad avere velocità nulla, quindi considera di essere su un piano e di avere una ruota e un mattone, supponiamo che entrambi si trovino nella stessa posizione iniziale, tu vuoi spostarli in un altro punto del piano. Per spostare il mattone la cosa è semplice, basta che fai una linea retta tra la posizione finale e iniziale, qualsiasi sia la posizione del punto finale, per la ruota invece la cosa è più difficile, non può scegliere qualsiasi traiettoria, ma devi sceglierla in modo da non far scivolare la ruota: Quindi il blocco per andare in P basta che segua la traiettoria rettilinea, la ruota invece non può seguire quella traiettoria se no scivolerebbe, devi condurla lungo una traiettoria diversa. Fatto sta che la ruota può raggiungere QUALSIASI punto del piano, ma può raggiungerla SOLO IN DETERMINATI modi, questo vincolo sui modi di raggiungere i punti del piano rappresenta un vincolo anolonomo (è il motivo per cui, per parcheggiare con la macchina, devi fare diverse manovre, ma allafine puuoi parcheggiare la macchina in ogni posto, per quanto lunghe possano essere le manovre)

[SKai]

Tale domanda nasce dal fatto che è possibile definire sistemi vincolati non solo in posizione, ma anche in velocità

Si, si tratta di vincoli anolonomi, la teoria generale dei vincoli anolonomi non è semplice (e nemmeno completa credo) [...] vincoli alle velocità sono essenzialmente vincoli sulle possibili traiettorie che il sistema può compiere per raggiungere una determinata posizione compatibile con i vincoli olonomi

Sei sicuro che vincoli di velocità sono per forza vincoli anolonomi? Sempre lo stesso professore di meccanica razionale parlava di vincoli olonomi come di quei vincoli esprimibili in forma esatta: in questa famiglia dovrebbero rientrare anche quelli descritti da equazioni differenziali integrabili del tipo $f(x,\dot{x})=0$, dove $\dot{x}$ è la velocità del sistema. Al contrario, definì gli anolonomi come quelli non esprimibili in forma esatta, i.e. equazioni differenziali NON integrabili o disequazioni. Nell'esempio da te fatto il vincolo sulla velocità, o meglio sull'atto di moto, è sicuramente anolonomo, ma mi chiedo se questi siano gli unici a poter vincolare l'atto di moto? In altre parole, non potrò mai esprimere in forma esatta un vincolo agente sull'atto di moto di un sistema?
Inoltre, è ancora possibile parlare di dualismo cinematica-statica quando l'ente cinematico vincolato è la velocità e non la posizione? Anche se non vedo più l'utilità.

Il resto è tutto molto chiaro: effettivamente quello che cercavo di fare era di guadagnare generalità senza poi apportare le opportune modifiche rispetto al caso in esame. Forse questo mio modo di pensare è dovuto all'applicazione degli stessi strumenti a modelli differenti senza soffermarsi troppo sulle differenze incontrate di volta in volta: ciò che dovrò fare ora è fare un po' di ordine mentale. Insomma, mettere tutto in un unico calderone e pensare di poter spiegare qualsivoglia sistema con quell'unico modello senza modificarlo un po' di volta in volta è semplicemente impossibile.

un modello generale per qualcosa è e rimane qualcosa di generale e poco definito, per applicarlo a casi particolare bisogna fare delle modifiche a accorgimenti affidandosi però alla teoria generale

Amen.

Infine, giusto un paio di chiarimenti:

cosa intendi con d'Alembert?

Quel principio secondo il quale, introducendo le forze d'inerzia, lo stato del sistema meccanico all'istante $t^*$ può essere visto come stato di equilibrio tra le forze attive e le forze d'inerzia, cioè l'equazione del moto è ottenibile da $F^(a)=F^(i)$, dove $F^(a)$ sono le forze attive sul sistema e $F^(i)$ sono le forze d'inerzia. Da ignorante quale sono non mi vengono in mente altri principi ed ho dato per scontato che si capisse. Mea culpa.

Il metodo di Lagrange è utile nei sistemi meccanici vincolati con tanti gradi di libertà e capaci di movimenti finiti, per esempio i sistemi "multibody"

Difatti, i sistemi multibody sono quelli di interesse dei miei corsi presenti e probabilmente anche di quelli a venire, ma quello che sto cercando di fare è di mettere ordine gli argomenti trattati fin'ora per quando e come utilizzarli.