Orbite chiuse velocità angolare

[DamunaTaliffato]

Ciao a tutti,
Perché se omega è intero allora le orbite sono chiuse?
Dove omega è definita dall'equazione differenziale dell'equazione della traiettoria
$ddot(x) + omega x = 0$

[Shackle]

Che cosa sai del problema di Keplero in meccanica classica ? O meglio, ancora prima del caso kepleriano, del problema di un corpo di massa $m$ , soggetto ad una forza centrale ? Supponiamo che $m$ sia piccola in rapporto alla massa $M$ del corpo che crea il campo centrale , altrimenti si va a finire nel problema dei due corpi.
IL discorso è lungo , ti consiglio questa ottima dispensa , per un approfondimento . Prendo qualche spunto da essa, ma ti raccomando di leggere l'originale.

Nel caso di una forza centrale , si conserva il momento angolare rispetto al centro della forza , e supponiamo che valga anche la conservazione dell'energia. Si arriva ad un certo punto alle seguenti equazioni per la coordinata radiale e per la coordinata angolare (si usano coordinate polari per maggior comodità quando si scrive la lagrangiana) , che rispecchiano le leggi di conservazione dette :

$ dot\theta = l/(mr^2) $ ( dove $l$ è il momento angolare )

$mddotr = mrdot\theta^2 - (dV)/(dr) $ (dove $V$ è il potenziale, non precisato a questo punto, che compare nella lagrangiana : in Keplero, è il potenziale gravitazionale)

LE due equazioni si possono ridurre ad una sola , sostituendo $dottheta$ dalla prima nella seconda :

$mddotr = l^2/(mr^3) - (dV)/(dr) $

quindi, è come il moto su una retta , sotto l'azione di un "potenziale efficace " :

$V_(eff)(r) = V(r) + l^2/(2mr^2) $

come si verifica facilmente per derivazione rispetto a r . Per la conservazione dell'energia , deve aversi allora :

$1/2mdotr^2 + V_(eff) (r) = E $ , da cui si ricava : $dotr = +- sqrt (2/m(E-V_(eff) (r)) $ , che è integrabile per quadrature .

Il potenziale, nel caso kepleriano, è dato da : $ V(r) = - k/r $ . Maggiori dettagli li trovi nella dispensa che ti ho dato come link.

Il potenziale efficace , diagrammato in funzione del raggio $r$ , ha un andamento qualitativo come nella figura seguente :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

da cui si vede che la curva del potenziale efficace ha un minimo, a cui corrisponde un'orbita circolare; e per energia compresa tra $E=0$ ed $E = E_(min) $ , quindi negativa ma superiore al valore corrispondente al minimo, la parallela all'asse delle ascisse interseca la curva in due punti , cioè due raggi , minimo e massimo . Questi stati con energia negativa si dicono "stati legati" .
A questo punto , copio e incollo dalla dispensa :

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L' orbita, che è piana e compresa nella corona circolare di raggi min e max, ha una forma a rosetta , come qui :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

il periodo dipende dalla forma del potenziale , e dai valori di $l$ ed $E$ .

Si verifica che , affinché l'orbita ripassi per il punto iniziale , quindi sia strettamente periodica , il rapporto $(Deltatheta)/(2pi) $ deve essere un numero razionale . In sostanza , questa è la risposta al tuo quesito .
Guarda in particolare l' esercizio 7.3 , per cui nel caso kepleriano risulta : $Delta\theta = 2pi$ ; e il teorema di Bertrand ivi riportato : tutte le orbite limitate sono chiuse .

Spero sia chiaro .

[DamunaTaliffato]

Fin qui ci sono, ma perché succede così? Qual è la dimostrazione?

[Shackle]

Mi viene in mente questo esempio. Supponi di avere una circonferenza di raggio r . Supponi di voler disegnare una sinusoide lungo la circonferenza, con tante semionde in fuori e in dentro, come se la circonferenza fosse l’asse delle ascisse. Per poter chiudere la sinusoide, la circonferenza deve essere lunga un numero intero di lunghezze d’onda, altrimenti quando la curva ritorna all’inizio non “becca” il punto di partenza.
Non è proprio una dimostrazione, ma ora questo mi è venuto in mente.