Non sei riuscito a scrivere niente ? Ti aiuto un po' . Ho fatto un grafico di come io interpreto il testo :
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Gli assi $(ct,x)$ sono quelli dell'osservatore A , in quiete per ipotesi . Gli assi $(ct', x')$ sono quelli dell'osservatore B , in moto con velocità $v/c = \beta = 0.5$ rispetto ad A . Come sai, l'angolo tra l'asse $ct'$ e l'asse $ct$ è uguale a $tg^(-1) beta $. Ho fatto presto a disegnare la retta $ct'$ con angolo giusto, contando i quadratini : 10 in verticale , 5 in orizzontale , e tracci la retta $ct'$ .
Se ti dà fastidio $c$ , puoi anche mettere $c = 1 $ , e segnare gli assi temporali direttamente con $t$ e $t'$ . Infatti, la velocità della luce , che in unità metriche tradizionali vale circa $3*10^8 m/s$ , vale anche $(1s.l.)/(1s) $ , che vuol dire 1 secondo-luce al secondo . Quindi , un quadratino sull'asse $t$ rappresenta $1s$ , e sull'asse $x$ rappresenta $1 s.l.$ : cosí ho fatto io, pur indicando , per maggior chiarezza e comprensione da parte di chi legge , le variabili $ct$ e $ct'$ , che sono omogenee a una lunghezza.
Premesso quanto sopra, ho interpretato il testo a questo modo : la frase "A guarda l'orologio di B " significa che le due immagini del grande orologio portato da B impiegano un tempo finito per propagarsi da B verso A , e questa propagazione avviene alla velocità della luce; quindi ci vuole un certo tempo affinché A
veda gli orari $ct'_1$ e $ct'_2$ segnati dall'orologio di B (che dobbiamo trovare) : voglio dire che la percezione delle immagini del grande orologio di B da parte di A
non è contemporanea alla loro emissione .
L'emissione delle due immagini è rappresentata dagli eventi $1$ e $2$ che ho rappresentato cerchiati sull'asse $ct'$, ma come si arriva, prima geometricamente e poi analiticamente, a stabilire questi due eventi ?
Come dati, abbiamo gli istanti $t_1 = 6s$ e $t_2 = 15s$ del tempo di A , che metto sull'asse $t$ di A ( come vedi sto assumendo c=1 ). Da questi due punti , traccio le rette
rosse ,inclinate a 45º , che rappresentano i segnali luminosi emessi dall'orologio di B, fino ad intersecare l'asse $t'$ di B . I punti cosi determinati sono gli eventi $1$ e $2$ detti, che avvengono agli istanti $t'_1$ e $t'_2$ da determinare .
Analiticamente , si ha che :
1) la retta $t'$ , asse dei tempi di B , ha equazione : $ t = x/\beta$ nel riferimento di A .
2) le due rette rosse (linee luce) hanno equazioni : $t = -x + t_1$ e rispettivamente $ t= -x + t_2$ , sempre nel riferimento di A .
facendo sistema tra l'equazione di $t'$ e ciascuna delle due linee rosse , si ottengono le coordinate dei due eventi rispetto ad A , cioè $(x_1, T_1)$ e risp. $(x_2,T_2)$ , dove ho indicato i tempi con lettera maiuscola $T$ , per distinguerli dai tempi $t_1$ e $t_2$ , poiché sono diversi . Infatti ora $T_1$ è il tempo di A "contemporaneo" all'evento $1$ , e $T_2$ è il tempo di A "contemporaneo" all'evento $2$ .
Ottengo quindi queste differenze :
$T_2-T_1 = 1/(1+beta)(t_2-t_1) $
$x_2 - x_1 = beta(T_2-T_1) = \beta/(1+beta)(t_2-t_1) $
Finora , ho fatto solo geometria. A questo punto arriva la relatività : applico l'invarianza dell'intervallo spazio-temporale tra i due eventi, e scrivo :
$(T_2-T_1)^2 - (x_2-x_1)^2 = (t'_2-t'_1)^2 $
al secondo membro, compare l'intervallo scritto nel riferimento di B , per il quale la coordinata spaziale del due eventi non muta , c'è solo la differenza tra i tempi propri. Sostituendo le quantità prima determinate , ottengo alla fine :
$t'_2 - t'_1 = (t_2-t_1) sqrt((1-beta)/(1+beta))$
e questa è la formula finale . Sostituendo i numeri , ho : $t'_2 -t'_1 = 5.2 s $
Il risultato differisce da quello che hai scritto : $6s$ , ma ti ripeto : questo è il modo in cui ho interpretato l'esercizio, non ne vedo altri . Non posso sapere che cosa avesse per la testa chi ha assegnato il problema, e che cosa volesse dire con quel verbo " guarda " .
E naturalmente posso aver sbagliato. In relatività , sbagliarsi è facilissimo .
We look for patterns when we are hungry or threatened, rather than bored. I don't think we needed to think about things when we were in standby mode in the ancient past.