moto armonico semplice

[matteo_g]

Ciao, nel moto armonico semplice LINEARE ( ad esempio un blocco attaccato ad una molla) l'energia meccanica del sistema blocco-molla è : $ E=(1/2)*K*Xm^2 $ dove K è la costante della molla e Xm l'ampiezza dell'oscillazione.

ma in un moto armonico semplice (senza essere specificato che è lineare) posso comunque trovare l'energia meccanica con quella formula ?
Chi mi dice che è presente una molla? potrei ad esempio essere io che con una mano faccio spostare avanti e indietro una particella su una retta.

Grazie.

[gmorkk]

Il moto si dice armonico quando l'accelerazione è direttamente proporzionale allo spostamento secondo questa equazione:

$$a=-\omega x$$

Diciamo che è lineare perché l'equazione differenziale che lo descrive è lineare (di ordine due).
Quando fai muovere con la mano un oggetto secondo un moto armonico, la forza che eserciti sull'oggetto deve rispettare quella equazione.

[matteo_g]

sono d'accordo con quello che hai detto ma il mio dubbio non riguarda ciò che mi hai spiegato.
Io vedo un controsenso se applicassi una formula con una costante elastica all'interno senza sapere nemmeno se un oggetto è attaccato ad un qualche tipo di molla.

[gmorkk]

Ma infatti nella mia risposta non ho messo da nessuna parte la costante elastica. La frequenza del moto armonico racchiude l'informazione sulla costante elastica solo, ovviamente, nel caso in cui l'oscillatore sia di tipo meccanico (es. molla).

[matteo_g]

ok, quindi in un problema come il 26 non useresti la seguente formula per risolvere il punto D giusto? $ E=(1/2)*K*Xm^2 $
Io non la userei perchè il problema non dice niente al riguardo della presenza o meno di una molla.
Io userei il fatto che l'energia meccanica totale corrisponde all'energia cinetica, quando essa è massima.
Comunque sia entrambi i metodi portano allo stesso risultato...ma il primo mi pare concettualmente errato da applicare.
Inoltre il libro (halliday resnick) riporta la seguente frase che dal mio punto di vista è errata perchè non è detto che un moto armonico semplice presenti per forza una molla.

[gmorkk]

Beh, in teoria l'energia meccanica del moto armonico semplice dipende in realtà solo dalla frequenza e dalla massa. Quindi in linea di principio dico che hai ragione, quel $k$ ha senso come costante elastica solo quando siamo di fronte al classico moto di un corpo attaccato ad una molla.

Più correttamente dovremmo scrivere, essendo che


$$\sqrt{\frac{k}{m}}=\omega$$

$$m\cdot\omega^2=k$$

E quindi $$U=\frac{1}{2}m\omega^2 A^2$$


Questa formula vale qualunque sia il tipo di moto armonico.

Tuttavia, se partiamo con l'assunto che l'equazione del moto è di tipo:

$$m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx$$

Dove $k$ assume il ruolo di una semplice costante nell'equazione di cui sopra la cui natura è dipendente esclusivamente dal tipo di forzante armonica, allora la formula che hai esposto sopra continua ad avere una pertinenza ma in questo caso $k$ non è necessariamente la costante elastica di una molla.

[matteo_g]

Perchè dici che l'energia meccanica del sistema dipende solo dalla frequenza e dalla massa se comunque sia w dipende dalla costante elastica?
Sull'ultimo discorso che hai fatto sono d'accordo. quindi la formula\[ U=\frac{1}{2}m\omega^2 A^2 \] potremmo dire che ha senso ogni volta che un oggetto sia sottoposto ad una forza del tipo F=-Kx con K costante generica ed x spostamento. Affermando ciò però potremmo concludere che si applica anche nel nostro caso poichè nel punto A del problema 26 quando vado a scrivere la forza in funzione del tempo viene del tipo F=-Kx

che confusione

[gmorkk]

Perchè dici che l'energia meccanica del sistema dipende solo dalla frequenza e dalla massa se comunque sia w dipende dalla costante elastica?
Sull'ultimo discorso che hai fatto sono d'accordo. quindi la formula\[ U=\frac{1}{2}m\omega^2 A^2 \] potremmo dire che ha senso ogni volta che un oggetto sia sottoposto ad una forza del tipo F=-Kx con K costante generica ed x spostamento. Affermando ciò però potremmo concludere che si applica anche nel nostro caso poichè nel punto A del problema 26 quando vado a scrivere la forza in funzione del tempo viene del tipo F=-Kx

che confusione

Il $k$ che compare nella formula, come hai già capito, è una costante generica che si usa per descrivere l'equazione caratteristica del moto armonico che è quella della proporzionalità diretta tra accelerazione e spostamento.
Scusami se ti ho confuso. Ad ogni modo, è questo il sunto del moto armonico.
Ho detto sopra che il moto armonico ha un'energia che dipende dalla frequenza. Chiaramente c'è una formula, scritta sopra, che lega $k$ ad $\omega$. Possiamo dire che dipende da $k$ quindi o da $\omega$ a seconda della formula che usiamo.

Il $k$ che compare, come vedi, è infatti legato alla frequenza dalla seguente equazione (nel caso di un moto del tipo blocco con molla):

$$\sqrt{\frac{k}{m}}=\omega$$

Quindi c'è un legame biunivoco tra le due quantità. Dire l'una o l'altra, nel caso di moti armonici in meccanica, è uguale sebbene sia più d'uso il $k$.
Ad esempio, in oscillatori armonici di altra natura dove la costante elastica perde significato (e credo che siamo d'accordo, è questo credo il dubbio enunciato nel post) ecco che la $\omega$ compare a pieno titolo senza bisogno di ulteriori giustificazioni.

Ma ad ogni modo, nel caso della molla, la frequenza è data dalla costante e dalla massa. Se sono io a spingere armonicamente il corpo, la frequenza dipende da me. Purtuttavia in un moto armonico qualsiasi ci è dato misurare alcune variabili, tra cui la $\omega$, ecco perché la formula con la frequenza acquisisce una maggiore utilità.

[matteo_g]

ok, ti ringrazio per la pazienza.
Credo di aver capito.