Il moto non è circolare uniforme, la guida è in un piano verticale e il carrello è soggetto alla gravità.
Quello che hai scritto, applicando la conservazione dell'energia , va bene, però non basta, come hai notato, perchè ci vuole una condizione sulla velocità, come ti ha fatto notare profkappa. La condizione è che la velocità del carrello, nel punto più alto della guida, sia la
minima possibile, in grado di assicurare tuttavia che il carrello non cada per gravità staccandosi dalla guida , che è un vincolo unilatero. Questa condizione si ricava da semplici considerazioni di dinamica.
Come prima cosa , nota che la guida esercita sul carrello, in ogni punto del percorso, una reazione vincolare $vecN$ , che è localmente perpendicolare alla tangente alla guida, supponendo che questa sia liscia. Nella figura allegata, ho supposto che il primo tratto della discesa sia rettilineo (ma questo non è assolutamente necessario per il caso in esame , è solo una esemplificazione) , sicché in un punto come $A$ si vede facilmente che il modulo di $vecN$ vale :
$N = |vecN| = mgcos\theta$
ovviamente il carrello è sottoposto anche alla forza peso $vecP$ , quindi la seconda equazione della dinamica si scrive :
$vecP + vecN = mveca $
Anche quando il carrello si trova in moto sulla parte circolare della guida è sottoposto alla reazione normale $vecN$, diretta radialmente verso il centro e di modulo variabile , e al peso $vecP$ , sicché vale la 2º equazione della dinamica prima scritta , in tutti i punti. In un punto generico $Q$ , proiettando le due forze sulla direzione radiale, positiva verso il centro, che forma l'angolo $alpha$ con la verticale discendente, si ha :
$ N-mgcos\alpha = ma_c$
dove $a_c$ è il modulo dell'accelerazione centripeta : $ a_c = v^2/r$ , come si sa dalla cinematica.
Vediamo che succede in due punti significativi. Nel punto più basso $B$, entrambi i vettori $vecP$ e $vecN$ sono radiali, ma $vecN$ è diretto verso il centro mentre $vecP$ è diretto in basso: cioè la reazione della guida e il peso sono discordi. Si ha : $cos\alpha = 1 $, perciò :
$N-mg = ma_c\rightarrow N = m(g+a_c)$
cioè la reazione $vecN$ deve bilanciare il peso $vecP$ e fornire la forza centripeta $mveca_c$ .
Ma ci interessa quello che succede nel punto più alto $C$ . Qui, entrambi i vettori sono radiali e diretti verso il basso, l'angolo è $alpha = \pi$ , quindi $cos \alpha = -1$ . La 2º equazione della dinamica, proiettata sul raggio verticale, è:
$N+mg = ma_c$
da cui si ricava che : $N = m(a_c-g) = m (v^2/r-g) $
qui, più è grande $v^2$ ( e quindi $v$ ) , maggiore è $N$ . Evidentemente, il valore minimo di $v^2$ si ha quando la reazione vincolare ha modulo nullo, cioè per :
$N=0$
il che può avvenire quando : $v^2/r -g = 0 \rightarrow v = sqrt(gr) $
Ecco, in tal caso il carrello arriva in $C$ con la velocità minima, con la forza centripeta data dalla sola forza peso , e quindi accelerazione centripeta $ v^2/r = g$ . La reazione della guida in questo istante è nulla , tuttavia il carrello non cade, ha velocità e quindi energia cinetica sufficiente per superare il punto, e subito dopo tale istante la forza di reazione della guida torna a manifestarsi e la velocità comincia ad aumentare.
Ora è facile : sostituendo $v=sqrt(gr)$ nell'equazione di conservazione dell'energia meccanica totale che hai scritto , puoi ricavare quanto deve essere l'altezza $H$ minima perché il carrello compia il giro della morte.
Devi trovare che : $ H = 2.5 r $ . Questa è la figura :
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We look for patterns when we are hungry or threatened, rather than bored. I don't think we needed to think about things when we were in standby mode in the ancient past.