Elemento di matrice

[Landau]

Salve. In meccanica quantistica si definisce operatore l'oggetto tale che \(\displaystyle \hat A|\psi\rangle=|\psi'\rangle \). Introducendo la risoluzione di identità si ottiene \[\displaystyle \hat A|\psi\rangle=\sum_i \hat A|e_i\rangle\langle e_i|\psi\rangle=\sum_{ij} |e_j\rangle\langle e_j|\hat A|e_i\rangle\langle e_i|\psi\rangle=\sum_{ij}|e_j\rangle A_{ji}c_i^{\psi} \] da cui si deduce che ogni operatore può essere rappresentato come \[\displaystyle \hat A=\sum_{ij} |e_i\rangle A_{ij}\langle e_j| \] Il problema che ho riguarda \(\displaystyle A_{ij} \), che dovrebbe essere l'elemento di matrice sulla riga i-esima e sulla colonna j-esima: \[\displaystyle A_{ij}=\langle e_i|\hat A |e_j\rangle \] Il libro si ferma qui, e non mi è tanto chiaro perché posso considerarlo un elemento di matrice. Però so che \(\displaystyle \hat A|e_j\rangle=\sum_k c_{kj}^A|e_k\rangle \), quindi \[\displaystyle \langle e_i|\hat A |e_j\rangle=\langle e_i|\sum_k c_{kj}^A|e_k\rangle=\sum_k c_{kj}^A\langle e_i|e_k\rangle=\sum_k c_{kj}^A\delta_{ik}=c_{ij}^A \] dove ho usato l'ortonormalità della base. E' questa la motivazione dietro l'introduzione della rappresentazione tramite matrici? Più che altro su questa faccenda mi confonde questo fatto: sappiamo che il valor medio di un'osservabile è \[\displaystyle \langle\hat O\rangle=\sum_i\lambda_i|\langle e_i|\psi\rangle|^2 \] e quindi definito l'operatore \(\displaystyle \hat O=\sum_i \lambda_i|e_i\rangle\langle e_i| \) risulta con un semplice conto che \(\displaystyle \langle\hat O\rangle=\langle\psi|\hat O|\psi\rangle \).
Tuttavia il libro chiama \(\displaystyle \langle\psi|\hat O|\psi\rangle \) elemento di matrice e non capisco quale elemento sia, e di che matrice. Finché nell'espressione dell'elemento della matrice compaiono due autostati è ok, ma quando ho tutto lo stato cosa sto rappresentando?

[anonymous_0b37e9]

Si tratta solo di un modo di dire. Della scrittura sottostante:

\(\displaystyle\langle\phi|\hat O|\psi\rangle\)

si dice che rappresenta l'elemento di matrice dell'operatore tra i due stati.