Concetto di misura in meccanica quantistica

Messaggioda vitunurpo » 30/03/2018, 10:48

Ciao a tutti.

Scrivo per sapere se qualcuno avrebbe voglia di aiutarmi a migliorare due risposte alle seguenti domande.

Sono delle domande esempio che potrebbero esserci ad un esame e vorrei rendere la mia risposta un po' più precisa (non sono molto soddisfatta) e sapere se ci sia eventualmente qualche errore concettuale.
Potreste aiutarmi?
Le seguenti sono risposte mie, che ho scritto dopo aver studiato da appunti e libro.


''Cosa è un'osservabile in meccanica quantistica?''
Un'osservabile in meccanica quantistica è una qualsiasi grandezza fisica misurabile direttamente tramite metodi sperimentali o indirettamente tramite metodi analitici, che viene rappresentata tramite un operatore lineare hermitiano. Dato che vale, per una matrice hermitiana quale l'operatore con cui rappresento l'osservabile, il teorema spettrale, gli autovalori di questa sono tutti reali. Gli autovalori di un'osservabile sono anche i possibili risultati della misura dell'osservabile stessa.
Per un'osservabile A vale la seguente equazione agli autovalori (considerando i caso discreto con degenerazioni)
$ A|\psi_n^i> = a_n|\psi_n^i> $ con $ a_n $ gli autovalori che tutti insieme compongono lo spettro discreto dell'osservabile, $ |\psi_n^i> $ gli autovettori dei relativi autovalori e i l'indice di degenerazione.
Una condizione fondamentale affinché l'operatore hermitiano A possa essere considerato un' osservabile, è che l'insieme dei vettori ortonormali tra loro formino una base, ovvero, che soddisfino la relazione di chiusura
$ sum_(n =1) ^ (infty)sum_(i =1) ^ (g_n)|psi_n^i><\psi_n^i|=I $


''Cosa significa misurare in meccanica quantistica?''
In meccanica quantistica, misurare significa far collassare lo stato del sistema, che in generale è una sovrapposizione di stati, in un autostato dell'osservabile che si sta misurando. Questo porta al fatto che i risultati di una misura possano essere solamente gli autovalori dell'osservabile misurata. L'autore del collasso è il proiettore, che fa precipitare il sistema fornendo il risultato della misura.


Se dovessero esserci errori gravi o concetti totalmente sbagliati, vi chiederei di correggere :)
Grazie
vitunurpo
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Re: Concetto di misura in meccanica quantistica

Messaggioda mgrau » 30/03/2018, 12:58

vitunurpo ha scritto:''Cosa significa misurare in meccanica quantistica?''
In meccanica quantistica, misurare significa far collassare lo stato del sistema, che in generale è una sovrapposizione di stati, in un autostato dell'osservabile che si sta misurando.
...
L'autore del collasso è il proiettore, che fa precipitare il sistema fornendo il risultato della misura.

Certo, questa è la lezione canonica. Come si può notare, è parecchio astratta... in genere si tende a glissare sull'argomento, che credo sia uno dei più spinosi nella MQ. Perchè, che cosa è uno strumento di misura? Che caratteristiche deve avere per produrre questo fantomatico collasso? Perchè non tutte le interazioni, ma solo alcune (quali?) producono questo collasso, e quindi si possono interpretare come misure? Ha a che fare con l'interazione fra il mondo microscopico e quello macroscopico? Mah...
Di sicuro, io non ti so rispondere. Forse qualcun altro...
mgrau
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Re: Concetto di misura in meccanica quantistica

Messaggioda vitunurpo » 30/03/2018, 13:01

mgrau, le domande che poni sono interessanti, però non abbiamo affrontato la questione in modo così dettagliato e compresso... e di conseguenza non so (purtroppo) ampliare i punti che specifichi tu!
magari qualcuno più esperto passa di qui e ci aiuta :-D !!
vitunurpo
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Re: Concetto di misura in meccanica quantistica

Messaggioda dRic » 30/03/2018, 18:23

Anche io sono un neofita della MQ però spero di poter dare una mano.

Quando scrivi questo (che, tra l'altro, mi sembra un po' ridondante):
vitunurpo ha scritto:Una condizione fondamentale affinché l'operatore hermitiano A possa essere considerato un' osservabile, è che l'insieme dei vettori ortonormali tra loro formino una base, ovvero, che soddisfino la relazione di chiusura
$ sum_(n =1) ^ (infty)sum_(i =1) ^ (g_n)|psi_n^i><\psi_n^i|=I $


stai tenendo conto anche delle funzioni normalizzabili "alla dirac"? o non le avete studiate? Perché in quel caso la cosa si complica... Prendi, per esempio, l'operatore posizione: le sue autofunzioni non sono normalizzabili in maniera standard quindi non dovrebbero rappresentare stati fisici reali, eppure l'operatore posizione descrive una proprietà "reale", la posizione appunto. Però se non l'avete fatto lascia stare (anche noi l'abbiamo saltato, io ho dato un occhiata per conto mio).

mgrau ha scritto:Certo, questa è la lezione canonica. Come si può notare, è parecchio astratta... in genere si tende a glissare sull'argomento, che credo sia uno dei più spinosi nella MQ. Perchè, che cosa è uno strumento di misura? Che caratteristiche deve avere per produrre questo fantomatico collasso? Perchè non tutte le interazioni, ma solo alcune (quali?) producono questo collasso, e quindi si possono interpretare come misure? Ha a che fare con l'interazione fra il mondo microscopico e quello macroscopico?


Domande legittime, però secondo me stai andando un po' troppo su filosofico... Io, nel moi piccolo, per avere le idea chiare la penso così:

mgrau ha scritto:che cosa è uno strumento di misura?

E' un qualcosa che ti permette di ricavare il "valore" (ovvero quante volte un'unità di riferimento è contenuta in quella grandezza) della grandezza fisica che ti interessa. Un banalissimo urto tra particelle è una misura perché se tu sapessi tutte le proprietà di una particella prima dell'urto e dopo potresti ricavare tutte le proprietà che desideri della seconda particella (almeno in teoria, poi bisogna metterci il principio di indeterminazione che rende tutto più complicato).

mgrau ha scritto:Che caratteristiche deve avere per produrre questo fantomatico collasso? Perchè non tutte le interazioni, ma solo alcune (quali?) producono questo collasso

Non vorrei dire una cavolata, però credo che, in un sistema isolato, gli osservabili che non collassano sono gli invarianti del moto (quindi energia, momento angolare). Infatti se tipo misurassi la posizione e la velocità di un elettrone che orbita attorno ad un atomo otterrei sempre valori diversi però se misuro la sua energia di ionizzazione (che dipende dal livello energetico in cui si trova) ottengo sempre lo stesso risultato.

mgrau ha scritto:Ha a che fare con l'interazione fra il mondo microscopico e quello macroscopico?

C'è una bellissima discettazione a riguardo (puramente discorsiva) nell'ultimo capitolo di "Sei pezzi facili" di R. Feynman (altro non è che una raccolta di "spezzoni" delle famose Feynman's Lectures of Physics). Le fluttuazioni delle misure quantistiche (che altro non sono che l'interazione tra copri) sono sempre presenti e con la stessa intensità. Soltanto che non mondo macroscopico sono così tante e frequenti che, "combinandosi", risultano a noi come un continuo e quindi non le percepiamo. Rimando comunque alla lettura del succitato testo perché è un concetto che non riuscirei a spiegare perché anche a me continua a creare delle grande :-D
Ultima modifica di dRic il 01/04/2018, 01:26, modificato 2 volte in totale.
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Re: Concetto di misura in meccanica quantistica

Messaggioda vitunurpo » 31/03/2018, 07:37

dRic, comincio a ringraziarti per la risposta (ho dato solo una veloce lettura) , appena ho un attimo di calma la leggo bene.
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Re: Concetto di misura in meccanica quantistica

Messaggioda vitunurpo » 02/04/2018, 14:41

Volendo, la relazione di chiusura, la potrei scrivere anche per uno spettro continuo o addirittura misto.


Comunque ho letto la risposta ed è stata molto interessante. Faccio un pensiero sulla lettura che hai consigliato appena ho tempo :)
Grazie a tutti e due per aver provato a darmi una mano!!!
vitunurpo
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Re: Concetto di misura in meccanica quantistica

Messaggioda dRic » 02/04/2018, 21:26

[quote="vitunurpo"]Volendo, la relazione di chiusura, la potrei scrivere anche per uno spettro continuo o addirittura misto./quote]

Perfetto, era giusto per sapere perché non sono molto pratico con quella notazione e avevo paura di non aver capito bene.
dRic
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