Quello che dici è sostanzialmente corretto, ma conviene fare qualche precisazione.
Il campo elettrico all'interno di un conduttore si annulla sempre all'equilibrio, purché sia immerso in un campo elettrico stazionario, che cioè non varii nel tempo (o che non varii molto velocemente, in tal caso si dice "quasi-stazionario").
Quindi anche se nello spazio sono presenti molteplici conduttori e cariche elettriche (che però devono produrre un campo elettrico stazionario) potrai imporre l'annullamento del campo all'interno di tutti i conduttori. Il problema fondamentale dell'elettrostatica dei conduttori è infatti questo: dati $N$ conduttori di cariche $q_1,...,q_N$ (o, equivalentemente, i potenziali $V_1,...,V_N$), e una distribuzione di carica $\rho (x,y,z)$ esterna ai conduttori stessi, determinare il campo elettrico totale nello spazio.
Un generatore di tensione, poi, può essere collegato agli estremi di un coduttore soltanto se quest'ultimo ha resistività non-nulla. Questo perché nei conduttori perfetti (resistività=0), l'equilibrio si raggiunge praticamente all'istante, e quindi il campo elettrico all'interno si può considerare sempre nullo, e di conseguenza ai capi la differenza di potenziale sarà sempre zero. Nella pratica, creeresti un cortocircuito, la corrente crescerebbe a dismisura, e, per effetto Joule, il circuito brucerebbe, e i risultati potrebbero non essere dei migliori
. Diversa è la situazione se il conduttore, invece, ha una resistività diversa da 0, e quindi una resistenza. In questo caso può avvenire la connessione a un generatore e il campo elettrico all'interno non è più nullo.
(A scanso di equivoci precisiamo che un conduttore perfetto può essere comunque percorso da corrente. Infatti, i dispositivi che formano un circuito vengono collegati tra di loro tramite fili fatti di conduttori perfetti.)
Venendo alla tua ultima domanda, la risposta è sì. In un conduttore si accumula una densità di carica sulla superficie che produce un campo elettrico non nullo anche all'esterno del conduttore stesso, ma ciò avviene anche se non è percorso da corrente!
