Fluidodinamica: derivata materiale e conservazione della massa

[zesu]

Salve a tutti,

Ho qualche difficoltà nella comprensione del significato fisico della derivata materiale. Innanzitutto vorrei chiedere se è un altro modo per chiamare la derivata totale di una funzione rispetto al tempo.
A questo punto la interpreterei come la velocità di variazione della funzione rispetto a quest'ultimo tenendo in considerazione anche dello spostamento nello spazio.
Ciò che non capisco è perché la derivata materiale della massa deve essere zero in un volume di controllo (principio di conservazione della massa). Riterrei questo vero solo nel caso di un volume materiale o di un processo stazionario. Ho visto però un esempio di un razzo idealizzato, di un volume di controllo che lo seguiva a pari velocità e dal quale fuoriuscivano i gas di scarico. Nonostante la masse all'interno non fosse costante, le soluzioni proponevano di applicare il principio di conservazione della massa, qualcuno sa spiegarmi il perché?

Grazie in anticipo

[dRic]

Ciò che non capisco è perché la derivata materiale della massa deve essere zero in un volume di controllo (principio di conservazione della massa). Riterrei questo vero solo nel caso di un volume materiale o di un processo stazionario.

Che io sappia la derivata totale o di massa (rispetto alla densità) é:

${D \rho}/{Dt} = {\partial \rho} / {\partial t} + \vec u * \nabla \rho $

Mentre l'equazione di continuità dice:

${\partial \rho} / {\partial t} + \nabla * (\rho \vec u) = 0$

ovvero

${\partial \rho} / {\partial t} + \rho \nabla * \vec u + \vec u * \nabla \rho = {D \rho}/{Dt} + \rho \nabla * \vec u = 0$

Quindi la derivata materiale è nulla solo nel caso in cui il campo di moto sia costante ($\nabla * \vec u = 0$). In maniera analoga si ricava che per fluidi incompressibili (${D \rho}/{Dt} = 0$) l'equazione di continuità si riduce a $\nabla * \vec u = 0$

La derivazione dell'equazione di continuità è del tutto generica. Sei familiare con il teorema del trasporto di Reynolds ?

[zesu]

Ciò che non capisco è perché la derivata materiale della massa deve essere zero in un volume di controllo (principio di conservazione della massa). Riterrei questo vero solo nel caso di un volume materiale o di un processo stazionario.

Che io sappia la derivata totale o di massa (rispetto alla densità) é:

${D \rho}/{Dt} = {\partial \rho} / {\partial t} + \vec u * \nabla \rho $

Mentre l'equazione di continuità dice:

${\partial \rho} / {\partial t} + \nabla * (\rho \vec u) = 0$

ovvero

${\partial \rho} / {\partial t} + \rho \nabla * \vec u + \vec u * \nabla \rho = {D \rho}/{Dt} + \rho \nabla * \vec u = 0$

Quindi la derivata materiale è nulla solo nel caso in cui il campo di moto sia costante ($\nabla * \vec u = 0$). In maniera analoga si ricava che per fluidi incompressibili (${D \rho}/{Dt} = 0$) l'equazione di continuità si riduce a $\nabla * \vec u = 0$

La derivazione dell'equazione di continuità è del tutto generica. Sei familiare con il teorema del trasporto di Reynolds ?

Grazie per la risposta,

In classe abbiamo derivato la conservazione della massa proprio attraverso il teorema del trasporto di Reynolds e, applicando il teorema di Gauss, abbiamo ottenuto che la derivata rispetto al tempo di un integrale volumetrico di una generica funzione f può essere espressa con la derivata materiale di f integrata sul volume.
A questo punto abbiamo detto che, in un volume chiuso e nel caso in cui la funzione f rappresenta la densità e quindi l'integrale la massa, la derivata deve essere uguale a zero e abbiamo chiamato ciò, principio principio della conservazione della massa. Ed è proprio quest'ultimo punto a non essermi chiaro, il fatto che la velocità di variazione della massa in un volume è in generale uguale a zero. Probabilmente non ho capito il significato di derivata materiale.

[dRic]

la derivata deve essere uguale a zero e abbiamo chiamato ciò, principio principio della conservazione della massa

ma perché? Il principio di conservazione della massa (alias "equazione di continuità") non è ${D \rho}/{Dt} = 0$, ma ${\partial \rho}/{\partial t} + \nabla * (\rho \vec u) = 0$. Sono due espressioni diverse! Sotto certe assunzioni diventano uguali, ma in un caso generico non lo sono. ${D \rho}/{Dt} = 0$ è la condizione che ti dice che i il fluido è incompressibile (la sua densità non varia), non c'entra con la conservazione della massa in sé.