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Mi rendo conto della domanda forse più da analisi che da fisica ma non riesco a sciogliere questo mio dubbio:

sapendo che $a_x=(dv_x)/dt$ $=$ $d/(dt)(dx)/(dt)$ non capisco perchè sia uguale a $(d^2x)/dt^2$

"credo" di conoscere i concetti di derivata ma mi sfugge come $dtdt=dt^2$.
Mi è più familiare $d$ $dx=dt^2$ infatti se faccio la derivata di $x$ e poi di nuovo la derivata dal risultato ottenuto, ottengo la derivata seconda di $x$

$(d^2f)/(dx^2)$ è solo un modo convenzionale - usando la notazione di Leibniz - per indicare la derivata seconda della funzione $f$ rispetto alla variabile $x$.
Quindi $a(t)=(dv(t))/(dt)=(d^2x(t))/(dt^2)$. Non c'è molto altro da dire.