Piattaforma rotante

[professorkappa]

Una piattaforma rotante e' in movimento con velocita' angolare $omega$. La piattaforma ha una scanalatura diametrale.
Una sfera viene posta a distanza $r_0$ dall'asse di rotazione. Calcolare il tempo che impiega la pallina a raggiungere il bordo (raggio piattaforma) e la componente radiale della velocita' con cui arriva.

Banale problema. Se non fosse che non riesco a riconciliare metodi di soluzione diversi.

Primo metodo:

$omega^2r=ddotr$

E tenendo conto che $[d dotr]/[dt]=[d dotr]/[dr]*dotr$, sostituendo ottengo $omega^2r*dr=[d dotr]dotr$ da cui

$omega^2r^2/2=v^2/2$ che altro non e' che il teorema delle forze vive. La soluzione mi da $v=omegasqrt(R^2-r_0^2)$

Fin qui tutto ok. Pero cosi non posso trovare il tempo. Allora approccio in altro modo:

$omega^2r=ddotr$

La risolvo senza sostituzione, con le condizioni iniziali, e ottengo che la soluzione della differenziale e'

$r(t)=r_0/2(e^(omegat)+e^(-omegat))$

(1) Come si risolve per trovare il tempo?

Trovato il tempo $bart$ per arrivare a R, la velocita' e', per derivazione $v=omegar_0/2(e^(omega[bart])-e^(-omega[bart]))$

Confrontando con la velocita' trovata con le forze vive, deve essere

$r_0/2(e^(omega[bart])-e^(-omega[bart]))=sqrt(R^2-r_0^2)$.

Ma quale operazione matematica giustifica questa uguaglianza?

[mgrau]

Trovato il tempo $bart$ per arrivare a R...

E quanto vale questo tempo $bart$ ?

[professorkappa]

E' proprio li il mio problema
Una riga sopra chiedo "Come si risolve per tovare il tempo?"

[mgrau]

Visto che hai la velocità, $v=omegasqrt(R^2-r_0^2)$, non puoi trovare il tempo come l'integrale di $dt = (dr)/v$, ossia $int_{r_0}^{R} (dr)/(omegasqrt(r^2-r_0^2))$
Non me ne intendo molto, magari sarà uno di quelli tosti...

[Vulplasir]

$R^2-r_0^2=(R-r_0)(R+r_0)$, fai questo ultimo prodotto e dovrebbe risultarti pari a $r_0^2/4(e^(omegat)-e^(-omegat))^2$

[professorkappa]

Non mi son spiegato molto bene.
Supponete di non conoscere l'artificio della sostituzione e risolvete direttamente con l'equazione risolutiva

$r(t)=Ae^(omegat)+Be^(-omegat)$

C'e' un modo, da questa equazione, per calcolare t*, che magari a me sfugge?
E, supposto che ci sia, deve per forza venire una v(t*) uguale a quella che si trova con le forze vive.

Si puo' fare?

@vulplasir: non afferro il tuo suggerimento.

[Vulplasir]

No, niente, il mio era un suggerimento per verificare che vale quell'uguaglianza. Comunque quella dovrebbe essere una semplice equazione esponenziale, si pone $e^(omegat)=x$ e si risolve, il risultato è lo stesso dato dall'integrale di mgrau.

[Shackle]

Ciao Professorkappa.

Stai supponendo che la velocità angolare sia costante, durante il moto radiale della pallina ? Io non direi. La scanalatura si suppone senza attrito. Si deve conservare il momento angolare e l'energia cinetica. Guardati questo esercizio , dove viene ricavata la velocità radiale finale. Per quanto riguarda il tempo, non saprei ....anche perchè è tempo di andare a dormire !

[dRic]

La risolvo senza sostituzione, con le condizioni iniziali, e ottengo che la soluzione della differenziale e'

$r(t)=r_0/2(e^{ωt}+e^{−ωt})$

(1) Come si risolve per trovare il tempo?

Come ha detto @vulplasir puoi porre $e^(wt) = x$, oppure puoi fare (tanto è la stessa identica cosa)

$r(t) = r_0 * cosh(\omega t)$ quindi ottieni:

$R/r_0 = cosh(\omega \bar t) -> \bar t = 1/\omega * cosh^{-1}(R/r_0)$

Chiamo per comodità $R/r_0 = x$ e usando un'identità si può scrivere:

$\bar t = 1/\omega * ln(x + \sqrt(x^2-1))$

Buttando dentro la derivata prima:

$\dot r(t) = \omega \frac {r_0} 2 (e^{\omega * 1/\omega * ln(x + \sqrt(x^2-1))) - e^{-\omega * 1/\omega * ln(x + \sqrt(x^2-1))))$

$ \dot r(t) = \omega \frac {r_0} 2 (x + \sqrt(x^2-1) - \frac 1 {x + \sqrt(x^2-1)}) = \omega \frac {r_0} 2 (\frac {2x^2 - 2 + 2x\sqrt(x^2-1)} {x + \sqrt(x^2-1)})$

Razionalizzando e semplificando il due

$\dot r(t) = \omega r_0 (\frac {x^2 - 1 - x\sqrt(x^2-1)} {x + \sqrt(x^2 - 1)} * \frac {x - \sqrt(x^2-1)} {x - \sqrt(x^2-1)})$

Svolgendo il prodotto, un po' palloso:

$\dot r(t) = \omega r_0 (\frac {\sqrt(x^2-1)} {1}) = \omega r_0 * \sqrt {(R/r_0)^2-1} = \omega \sqrt(R^2-r_0^2) = v$

Avevo voglia di fare un po' di conti

[professorkappa]

E bravo dric, esattamente quello che mi serviva.
Non avevo proprio pensato alla sostituzione $e^[omegat]=x$, continuavo a impelagarmi con improabili sostituzioni logaritmiche (e quello purtroppo e' dovuto alla ruggine); pertanto grazie a Vulplasir anche.
Stavo per svolgermi i calcoli, ma mi hai risparmiato un bel po' fatica.

Grazie mille a tutti per i vostri interventi.