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Ciao ragazzi ho questo problema che non capisco come risolvere:

una capsula è fermo sulla terra, a che velocità potrebbe transitare al centro della terra ipotizzando che vi sia una galleria?

io avevo pensato di usare la conservazione dell'energia meccanica $ GmM/(Rt)=1/2m(Vf)^2 $ e di ricavare la velocità, ma non torna. Cosa sto sbagliando secondo voi ?

Che al centro della terra è r=0 e quindi l'energia potenziale sarebbe infinita...

All'interno della terra la forza di gravità ha un andamento lineare, proporzionale al raggio, zero al centro.
E' una forza di tipo elastico, la sua energia potenziale ha la stessa forma di quella di una molla, $1/2kx^2$, è questa che va uguagliata ad $1/2mv^2$.
Devi solo pensare un attimo a che cosa è $k$ in questo caso...

Vulplasir
è vero che la distanza è zero, ma anche la massa che vado a considerare per quanto riguarda la sfera è zero ( per il teorema dei gusci sferici).

mgrau
io so che in modo più generale, considerando la terra di densità costante posso esprimere la forza come $ F=(GmM)/(Rt)^3*r $ dove con r indico la distanza dal centro della terra della particella. Da qui posso anche affermare che al centro la forza è zero, senza andare a finire in forme indeterminate del tipo 0/0.
La costante di cui parli sarebbe quindi $ (GmM)/(Rt)^3=k $ ?

matteo_g ha scritto:La costante di cui parli sarebbe quindi $ (GmM)/(Rt)^3=k $ ?

Volendo complicarsi la vita...
Mi pare più semplice vedere $k$ come il rapporto fra la forza (elastica) e l'allungamento.
Se prendiamo una massa $m$, la forza è $mg$, l'allungamento è il raggio della terra, da cui $k = (mg)/R_t$, che se vogliamo, coincide col tuo, ma ha un aspetto più domestico.
Infine abbiamo $1/2(mg)/R_t*R_t^2 = 1/2mv^2 -> v = sqrt(g*R_t)$

ok, ho capito. ti ringrazio!!