Problema lavoro-energia

[giulytoffee]

Un’auto di massa M = 1000 kg percorre un rettilineo lungo il quale il suo moto risente di una forza resistente (dovuta alla concomitante presenza dell’attrito con l’asfalto e della resistenza dell’aria) di ampiezza FR =Fo + kv^2, essendo v la velocità dell’auto, Fo = 350 N e k = 1.9 Ns2/m2. L’auto, partendo da ferma e mantenendo un’accelerazione costante, raggiunge in 10 s la velocità di 100 km/h. Si determini, in tali condizioni, il lavoro che deve fare il motore.

innanzitutto calcolo l'accelerazione a= 100km/h / 10s convertendo in m/s ottengo a=2,78
per trovare il lavoro compiuto dal motore uso il teorema dell'energia cinetica per cui
\( 1/2Mv^2-FR \)
Risolvendo

\( 1/2Mv^2-\int_{so}^{s} FR\, ds \)
ora vorrei la spiegazione di come risolvere questo integrale

Grazie !!

[mgrau]

Con una accelerazione $a = 2.78m/s^2$ in 10 secondi l'auto percorre $1/2*2.78*10^2 m = 139m$.
La velocità in funzione della posizione è $v = sqrt(2as)$
La forza resistente in funzione della posizione è $F_0 + kv^2 = F_0 + k*2as$
Il lavoro è l'integrale della forza per lo spostamento, fra 0 e 139
Se rappresenti la forza e la posizione su un grafico, vedi che la forza è una funzione lineare, il lavoro è rappresentato dall'area sotto il grafico, che è un trapezio, non serve nemmeno un integrale: la forza all'inizio è 350N, alla fine è 350 + k*v^2 = 350 + 1477 = 1816N, la media è 1083N che, moltiplicati per 139m danno circa 150.000J

[professorkappa]

@mgrau.

Qualcosa non mi torna. Quel lavoro e' quello che spenderesti se la macchina si muovesse di moto rettilineo uniforme.
Manca il termine aggiuntivo per farla accelerare. O sto prendendo un granchio?

[mgrau]

Manca il termine aggiuntivo per farla accelerare. O sto prendendo un granchio?

No, hai ragione. Ho considerato solo il lavoro compiuto contro l'attrito. Infatti, basta pensare che, se non ci fosse nessuna resistenza, il lavoro necessario non sarebbe nullo. Bisogna aggiungere i 386.000J di energia cinetica.