Dispersione e rifrazione

[Damiano77]

Buongiorno
Da ciò che ho capito, quando la luce passa da un corpo ad un altro trasparenti entrambi e il primo ha n1 maggiore di n2, la velocità dell'onda nel primo corpo sarà minore di quella nel secondo e l'angolo incidente sarà minore dell'angolo rifratto. E viceversa. Ho quindi ipotizzato che tanto maggiore è l'indice di rifrazione tanto minore sarà l'angolo formato con la normale.
Se consideriamo la dispersione della luce, il violetto (con indice di rifrazione maggiore in un corpo) forma un angolo di rifrazione con la normale maggiore di quello della luce rossa (con indice di rifrazione minore). Come mai questa discordanza? Dove sbaglio nel ragionamento? Grazie in anticipo.

[mgrau]

Se ho capito bene quello che intendi, la tua seconda frase si riferisce alla situazione in cui un fascio di luce bianca entra per es. nel vetro dall'aria: il violetto devia di più del rosso.
Ma la prima frase direi che tratta della situazione opposta: da vetro ad aria; non si confrontano tanto bene

[amivaleo]

il violetto (con indice di rifrazione maggiore in un corpo) forma un angolo di rifrazione con la normale maggiore di quello della luce rossa (con indice di rifrazione minore)

Questo non è vero.

Ricordiamo intanto che l'indice di rifrazione $n$ di un mezzo è uguale al rapporto della lunghezza d'onda nel vuoto $\lambda_0$ sulla lunghezza d'onda nel materiale $\lambda$:
$n = \lambda_0 / \lambda$.
La legge di Snell si può dunque scrivere anche come:
$n_1 \sin \theta_1 = n \sin \theta -> {\sin \theta_1} / {\lambda_1} = {\sin \theta} / {\lambda}$

Consideriamo un raggio di luce violetto ($\lambda_V$) che dal vuoto ($n_0$) incide su un materiale:
${\sin \theta_0} / {\lambda_0} = {\sin \theta_V} / {\lambda_V}$
Consideriamo anche un raggio di luce rosso ($\lambda_R$) che forma lo stesso angolo incidente con la normale e anch'esso viaggia dal vuoto allo stesso materiale:
${\sin \theta_0} / {\lambda_0} = {\sin \theta_R} / {\lambda_R}$
Poiché entrambi i primi membri delle due equazioni sopra sono uguali, posso eguagliare i termini a destra tra loro:
${\sin \theta_V} / {\lambda_V} = {\sin \theta_R} / {\lambda_R}$
Dato che $\lambda_V$ è più piccolo di $\lambda_R$, anche i numeratori delle due frazioni sopra devono soddisfare la stessa relazione: $\theta_V < \theta_R$

Nel caso possa tornarti utile, prova questo link: https://phet.colorado.edu/sims/html/ben ... ht_en.html
Seleziona "more tools" e osserva tu stesso come varia l'angolo di rifrazione (rispetto alla normale) al variare della lunghezza d'onda della luce.

[Damiano77]

È passato un po'. Avendo rivisto la disccusione mi è venuto un dubbio. Capisco che l'angolo di incidenza della radiazione sia lo stesso sia per la radiazione rossa che per quella violetta in quanto le due giungono sovrapposte. Ma non capisco perchè consideri la lunghezza d'onda di incidenza uguale sia per quella rossa che per quella violetto. Dovrebbero essere diverse

[amivaleo]

Mi scuso, mi sono espresso in maniera imprecisa in quella occasione.
Cerco di ricapitolare qui ciò che so che concerne l'argomento.

Nel vuoto i colori viaggiano alla stessa velocità, pur rimanendo distinguibili. Questo significa che lunghezze d'onda diverse viaggiano a frequenze diverse, ma sempre in maniera tale che queste quantità diano $c$ quando moltiplicate tra loro, nel vuoto.

Quando la luce bianca che viaggia nel vuoto incide su un mezzo, in seguito i colori che la costituiscono si sparpagliano. Questo perché colori diversi viaggiano a velocità diverse in mezzi che non sono il vuoto. Ciò che cambia in questo cambio di mezzo è la lunghezza d'onda, che si accorcia un pochino nel passaggio dal vuoto a qualsiasi materiale.

Per quantificare questo fenomeno, si ricorre all'indice di rifrazione, che misura di quanto $c$ è più grande rispetto alla velocità dell'onda nel dato materiale.
Dovrebbe essere chiaro che questo indice dipende dunque non solo dal materiale ma anche dall'onda stessa. Nello specifico: dipende dalla sua lunghezza d'onda.

Lo "sparpagliamento" che ho annunciato sopra è in effetti una vera e propria apertura del fascio luminoso bianco (dal vuoto) in un ventaglio. Come nel prisma dell'album dei Pink Floyd.
Questa apertura è possibile se l'angolo di incidenza rispetto alla superficie di separazione tra i due materiali è almeno localmente diverso da 90 gradi. In particolare: questo fenomeno di rifrazione obbedisce alla legge di Snell, che per due generici mezzi è:

$n_0 \sen(\theta_0) = n_1 \sen(\theta_1)$

Dove gli $n$ sono gli indici di rifrazione nei due mezzi, mentre i $\theta$ sono gli angoli rispetto alla normale alla superficie delle traiettorie nei due mezzi della particolare onda.
Tutte le quantità in questa equazione dipendono infatti dalla lunghezza d'onda del materiale, a meno dell'angolo di incidenza $\theta_0$ che tipicamente dipende più dalla scelta dello sperimentatore su come orientare il fascio incidente!

Nel vuoto $n_0 =1$, e se consideriamo due fasci monocromatici che viaggiano paralleli, uno rosso e l'altro viola, la legge di Snell per essi ci dà:
$\sen(\theta_0) = n_R \sen(\theta_R)$
$\sen(\theta_0) = n_V \sen(\theta_V)$
Poiché tipicamente $n_R < n_V$, segue che il fascio viola viaggia più vicino alla normale nel secondo mezzo, rispetto alla luce rossa.
In effetti, se l'atmosfera non assorbisse maggiormente la radiazione violetta di quella rossa, i tramonti sarebbero tendenti al violetto e non al rosso.

Nel mio precedente post ho impropriamente indicato con $\lambda_0$ due diverse lunghezze d'onda nel vuoto, e le ho erroneamente trattate come se fossero le stesse.
Spero che quanto ho scritto sia ora più chiaro e risolva più dubbi.

[Damiano77]

Grazie mille
Quello che vorrei sapere é perchè i due indici di rifrazione sono diverei. Esiste qualche formula che correla l'indice con la lunghezza d'onda

[amivaleo]

Sì, esiste, ed è quella che ho usato impropriamente: $n = \lambda_0 / \lambda$.

I due $\lambda$ sono entrambi dipendenti dall'onda e dal mezzo in cui viaggia.
Per passare da $n = \frac{c}{v}$ a questa serve ricordare che per le onde è comodo esprimerne la velocità come:
$v = \frac{\omega}{k}$
dove $\omega = 2\pi \nu$ è la frequenza angolare (ho sempre preferito chiamarla "pulsazione", sebbene sembra sia un termine usato impropriamente in questo contesto) e $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ è il modulo del vettore d'onda.

Come ho detto nel precedente post, ciò che identifica un'onda a prescindere dal mezzo nel quale viaggia, è la sua frequenza $\omega$ (o, equivalentemente, $\nu$), mentre la lunghezza d'onda varia (tipicamente diventa più piccola se il mezzo successivo è più denso). Se consideriamo dunque un'onda che viaggia nel vuoto e la stessa onda che viaggia in un mezzo, le due velocità sono rispettivamente:
$c = \frac{\omega}{k_0}$ e $v = \frac{\omega}{k}$
L'indice di rifrazione del mezzo E della particolare onda $\omega$ che viaggia in esso può quindi essere scritto come:
$n = \frac{c}{v} = \frac{\omega}{k_0} \frac{k}{\omega} = \frac{k}{k_0} = \frac{\lamda_0}{\lambda}$

[Damiano77]

Ma in quella formula entrambe le lamba variano quindi non posso dire che ad esempio all'aumentare della lamba rifrattadiminuisce n in quanto non considererei che anche la lamba incidente varia

[amivaleo]

Ma in quella formula entrambe le lambda variano

Se scegli una data onda monocromatica, ossia una particolare frequenza, la lunghezza d'onda nel vuoto diventa nota. Cambia la lunghezza d'onda ritratta in base al mezzo considerato.

psso dire che ad esempio all'aumentare della lamba rifrattadiminuisce n

Corretto. Ma questo lo dici per una particolare onda monocromatica per la quale, nuovamente, la lunghezza d'onda nel vuoto è una e unica.

[Damiano77]

Ma non stiamo considerando un'onda policromatica per la dispersione della luce?