Centro sistema vettori
Inviato: 17/05/2018, 18:26
Buona sera, mi è sorto questo dubbio:
se ho un sistema di vettori applicati non per forza paralleli tra loro (ergo non multipli) come potrò individuare il centro del sistema?
ho ragionato in questo modo: immaginando un sistema di forze applicate a un corpo rigido.
Esiste un punto (non necessariamente interno al corpo) in cui la risultante non da' momento (ovvero, se applichi la risultante dei tre vettori in quel punto, il corpo rigido trasla senza ruotare).
Quindi prescindendo dalle particolari dimensioni dei vettori (paralleli o non) :
la somma dei momenti rispetto all'origine dei tre vettori è uguale al momento del vettore risultante applicato nel centro C :
$(A_1-O)xxveca_1 + (A_2-O)xxveca_2 + (A_3-O)xxveca_3 = (C-O) xxvecR $
------------------------------------------------------------------------------------------------
ed ecco un bellissimo esempio numerico: (esercizio con vettori si paralleli ma affrontato in maniera generica)
$ A(1,0,0) $ $ B(0,1,0) $ $ C( 0,0,1) $
\( \overrightarrow{v}(a) (6,4,-10) \) \( \overrightarrow{v}(b) (-3,-2,5) \) \( \overrightarrow{v}(c) (12,8,-20) \)
calcolo la risultante banalmente ottengo \( \overrightarrow{R} : (15,10,-25) \)
mentre per il momento ottengo \( \overrightarrow{M} : (-1,19,7) \)
ora volendo utilizzare la formula di cui sopra $(A_1-O)xxveca_1 + (A_2-O)xxveca_2 + (A_3-O)xxveca_3 = (C-O) xxvecR $
Ottengo \( \ (-1,19,7)=(C-O)\times \overrightarrow{R} \ \)
e dunque \( (-1,19,7)=(x,y,z)\times (15,10,-25) \)
sviluppo la matrice \( \begin{bmatrix} i & j & k \\ x & y & z \\ 15 & 10 & -25 \end{bmatrix} \) ottenendo : \( (-25y-10z,15z+25x,10x-15y) \)
ottengo quindi le tre equazioni \( \begin{cases} -25y-10z=-1 \\ 15z+25x=19 \\ 10x-15y=7\end{cases} \)
Risolvendo tali equazioni dovrei pervenire a un risultato.... che però non è lo stesso che ottengo con \( \lambda \) [definizione canonica di centro di sistema di vettori paralleli]
Ringrazio chiunque voglia aiutarmi!
se ho un sistema di vettori applicati non per forza paralleli tra loro (ergo non multipli) come potrò individuare il centro del sistema?
ho ragionato in questo modo: immaginando un sistema di forze applicate a un corpo rigido.
Esiste un punto (non necessariamente interno al corpo) in cui la risultante non da' momento (ovvero, se applichi la risultante dei tre vettori in quel punto, il corpo rigido trasla senza ruotare).
Quindi prescindendo dalle particolari dimensioni dei vettori (paralleli o non) :
la somma dei momenti rispetto all'origine dei tre vettori è uguale al momento del vettore risultante applicato nel centro C :
$(A_1-O)xxveca_1 + (A_2-O)xxveca_2 + (A_3-O)xxveca_3 = (C-O) xxvecR $
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ed ecco un bellissimo esempio numerico: (esercizio con vettori si paralleli ma affrontato in maniera generica)
$ A(1,0,0) $ $ B(0,1,0) $ $ C( 0,0,1) $
\( \overrightarrow{v}(a) (6,4,-10) \) \( \overrightarrow{v}(b) (-3,-2,5) \) \( \overrightarrow{v}(c) (12,8,-20) \)
calcolo la risultante banalmente ottengo \( \overrightarrow{R} : (15,10,-25) \)
mentre per il momento ottengo \( \overrightarrow{M} : (-1,19,7) \)
ora volendo utilizzare la formula di cui sopra $(A_1-O)xxveca_1 + (A_2-O)xxveca_2 + (A_3-O)xxveca_3 = (C-O) xxvecR $
Ottengo \( \ (-1,19,7)=(C-O)\times \overrightarrow{R} \ \)
e dunque \( (-1,19,7)=(x,y,z)\times (15,10,-25) \)
sviluppo la matrice \( \begin{bmatrix} i & j & k \\ x & y & z \\ 15 & 10 & -25 \end{bmatrix} \) ottenendo : \( (-25y-10z,15z+25x,10x-15y) \)
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
ottengo quindi le tre equazioni \( \begin{cases} -25y-10z=-1 \\ 15z+25x=19 \\ 10x-15y=7\end{cases} \)
Risolvendo tali equazioni dovrei pervenire a un risultato.... che però non è lo stesso che ottengo con \( \lambda \) [definizione canonica di centro di sistema di vettori paralleli]
Ringrazio chiunque voglia aiutarmi!