Potenziale delta

[Landau]

Salve, ho un altro problema di meccanica quantistica in cui ho un dubbio. Ho a che fare con una particella di massa $m$ che si muove in una regione unidimensionale con potenziale dato da \( V(x)=-\frac{\hbar^2}{m}\Omega\delta(x)\); devo trovare l'energia e la funzione d'onda della particella nell'unico stato legato. Partendo dall'equazione di Schroedinger, \[\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\text{d}^2\psi(x)}{\text{d}x^2}+V(x)\psi(x)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\text{d}^2\psi(x)}{\text{d}x^2}-\frac{\hbar^2}{m}\Omega\delta(x)=E\psi(x) \\ \Rightarrow \frac{\text{d}^2\psi(x)}{\text{d}x^2}+2\Omega\delta(x)\psi(x)+\lambda^2\psi(x)=0, \] avendo posto \(\lambda^2=-2mE/\hbar^2 \). Si tratta di un'equazione differenziale riscrivibile come \(\frac{\text{d}^2\psi(x)}{\text{d}x^2}=-(2\Omega+\lambda^2)\psi(x)\) la cui soluzione dovrebbe essere l'esponenziale \(\displaystyle \psi(x)=A\exp(x\sqrt{-\lambda^2-2\Omega\delta(x)})+B\exp(-x\sqrt{-\lambda^2-2\Omega\delta(x)}) \). Per \(\displaystyle x\ne 0 \) la soluzione si riduce a \(\displaystyle \psi(x)=A\exp(x\sqrt{-\lambda^2})+B\exp(-x\sqrt{-\lambda^2})=A\exp(x\lambda)+B\exp(-x\lambda) \).

Tuttavia il testo riporta la soluzione \(\displaystyle \psi(x)=A\exp(-\lambda|x|) \). Come ci si arriva?

[anonymous_0b37e9]

Utilizzando le seguenti notazioni:

$[U_0 lt 0] ^^ [E lt 0] ^^ [\lambda=-(8\pi^2mE)/h^2 gt 0]$

si ha:

Energia potenziale

$U(x)=U_0\delta(x)$

Equazione di Schrodinger stato legato

$[x ne 0] rarr [-h^2/(8\pi^2m)(d^2\psi)/(dx^2)=E\psi] rarr [(d^2\psi)/(dx^2)+(8\pi^2mE)/h^2\psi=0] rarr [(d^2\psi)/(dx^2)-\lambda\psi=0]$

$[x lt 0] rarr [\psi(x)=Ae^(sqrt\lambdax)]$

$[x gt 0] rarr [\psi(x)=Be^(-sqrt\lambdax)]$

Condizioni

$[lim_(x->0^-)\psi(x)=lim_(x->0^+)\psi(x)] rarr [A=B]$

$[lim_(x->0^-)(d\psi)/(dx)=lim_(x->0^+)(d\psi)/(dx)-(8\pi^2mU_0)/h^2\psi(0)] rarr [sqrt\lambdaA=-sqrt\lambdaB-
(8\pi^2mU_0)/h^2A]$

Risolvendo il sistema si può determinare l'energia:

$\{(A=B),((2sqrt\lambda+(8\pi^2mU_0)/h^2)A=0):} rarr [2sqrt\lambda+(8\pi^2mU_0)/h^2=0] rarr [\lambda=(16\pi^4m^2U_0^2)/h^4] rarr$

$rarr [- (8\pi^2mE)/h^2=(16\pi^4m^2U_0^2)/h^4] rarr [E=-(2pi^2mU_0^2)/h^2]$

Per quanto riguarda la funzione d'onda:

$[x ne 0] rarr [\psi(x)=Ae^(-sqrt\lambda|x|)]$

non rimane che determinare $A$ imponendo la condizione di normalizzazione.

[Landau]

Wow, perfetto. Grazie mille.

[Landau]

Riesumo un attimo questa discussione per chiedere due cose che riguardando mi accorgo non essere chiare:

1) Perché è necessario distinguere, nella soluzione dell'equazione di Schroedinger, la regione $x<0$ da quella $x>0$? E' solo perché c'è la discontinuità nell'origine? Se sì, comunque non mi è chiaro come determinare le due soluzioni. Vedo che la soluzione vera e propria è una somma, ma non capisco come determinare quale addendo si riferisce alla regione negativa o a quella positiva...

2) Da dove arriva esattamente la condizione $lim_(x->0^-)(d\psi)/(dx)=lim_(x->0^+)(d\psi)/(dx)-(8\pi^2mU_0)/h^2\psi(0)$?

O meglio, perché nella condizione di continuità delle derivate c'è il termine \(\displaystyle \psi(0) \)? So che dipende dalla discontinuità nell'origine, ma non capisco perché debba avere quel coefficiente, che poi sarebbe quello del termine del potenziale nell'equazione di Schroedinger.

Comunque, per completezza, la normalizzazione dovrebbe essere data da \[\displaystyle 1/A^2=\int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-2\sqrt{\lambda}|x|)=\int_{-\infty}^{0} \exp(2\sqrt\lambda x) \ dx+\int_{0}^{+\infty} \exp(-2\sqrt\lambda x) \ dx =1/\sqrt\lambda\]

[anonymous_0b37e9]

... la normalizzazione dovrebbe essere data da ...

$\int_{-oo}^{+oo}bar\psi(x)\psi(x)dx=1 rarr$

$rarr 2A^2\int_{0}^{+oo}e^(-2sqrt\lambdax)dx=1 rarr$

$rarr 2A^2[-1/(2sqrt\lambda)e^(-2sqrt\lambdax)]_{0}^{+oo}=1 rarr$

$rarr A^2/sqrt\lambda=1 rarr$

$rarr A=root(4)(\lambda)$

... solo perché c'è la discontinuità nell'origine ...

La soluzione è continua anche nell'origine:

$[x ne 0] rarr [\psi(x)=Ae^(-sqrt\lambda|x|)]$

$lim_(x->0)Ae^(-sqrt\lambda|x|)=A$

a patto di definire $[\psi(0)=A]$. A questo punto, si poteva tranquillamente omettere la condizione $[x ne 0]$. Vero è che, a non essere continua, è la sua derivata prima. Ad ogni modo, questo è solo uno dei molteplici problemi in cui è necessario distinguere almeno due intervalli.

... la soluzione vera e propria è una somma ...

Non si tratta di una somma. Piuttosto, se si discute il valore assoluto, si tratta di una funzione definita a tratti:

$[x lt 0] rarr [\psi(x)=root(4)(\lambda)e^(sqrt\lambdax)]$

$[x gt 0] rarr [\psi(x)=root(4)(\lambda)e^(-sqrt\lambdax)]$

... da dove arriva esattamente la condizione ...

Intanto, la seguente condizione:

$lim_(x->0^-)(d\psi)/(dx)=lim_(x->0^+)(d\psi)/(dx)-(8\pi^2mU_0)/h^2\psi(0)$

è imposta proprio perchè la derivata prima non è continua. Inoltre, la sua necessità deriva dalla presenza della delta di Dirac nel secondo termine della derivata seconda:

$[(d^2\psi)/(dx^2)+(8\pi^2m)/h^2[E-U(x)]\psi=0] ^^ [U(x)=U_0\delta(x)] rarr$

$rarr (d^2\psi)/(dx^2)+(8\pi^2m)/h^2[E-U_0\delta(x)]\psi=0 rarr$

$rarr (d^2\psi)/(dx^2)=-(8\pi^2mE)/h^2\psi+(8\pi^2mU_0)/h^2\delta(x)\psi$

Insomma, la derivata prima deve avere una discontinuità di prima specie per $[x=0]$, il valore in cui si annulla l'argomento della delta di Dirac, con salto uguale al fattore per cui la stessa delta di Dirac è moltiplicata:

$(8\pi^2mU_0)/h^2\psi(0)$