Tripla fenditura e schermo

[Landau]

Salve, ho dei dubbi con questo esperimento di meccanica quantistica. Supponiamo di avere uno schermo su cui sono praticate tre fenditure, rispettivamente rappresentate dagli stati \(\displaystyle |1\rangle, |2\rangle, |3\rangle \). Oltre la tripla fenditura c'è uno schermo con una parte alta \(\displaystyle |+\rangle \) e una parte bassa \(\displaystyle |-\rangle \).

Una particella si trova inizialmente nello stato \(|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}|1\rangle+\frac{1}{2}|2\rangle+\frac{i}{2}|3\rangle \). Se essa passa per la prima fenditura, viene deviata e non arriva sullo schermo; se passa attraverso la seconda, si trova nello stato \(|\chi\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}(|+\rangle+|-\rangle) \); infine, se passa attraverso la terza si trova nello stato \(|\phi\rangle=\frac{i}{\sqrt 2}(|+\rangle-|-\rangle) \).

Quale sarebbe lo stato, la probabilità \(\displaystyle P_+ \) che arrivi sulla parte alta, e la probabilità \(\displaystyle P_- \) che arrivi sulla parte bassa, se nessuna fenditura è equipaggiata con un rilevatore? Mi verrebbe da dire che non sapendo da quale fenditura sia passata la particella, essa si trova in una sovrapposizione degli stati \(\displaystyle |\chi\rangle \) e \(\displaystyle |\phi\rangle \), però non so come considerare la presenza della prima fenditura. Infatti oltre alla sovrapposizione \(\displaystyle |\phi\rangle+|\chi\rangle \) c'è anche la possibilità che la particella sia stata deviata e non sia arrivata allo schermo, collassando nello stato \(|\psi\rangle=\mathcal{N}(\frac{1}{2}|2\rangle+\frac{i}{2}|3\rangle) \) opportunamente normalizzato...

[anonymous_0b37e9]

Riassumendo i dati dell'esperimento:

Stato iniziale

\(|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}|1\rangle+\frac{1}{2}|2\rangle+\frac{i}{2}|3\rangle\)

Stato se passa attraverso la fenditura 2

\(|\chi\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}(|+\rangle+|-\rangle)\)

Stato se passa attraverso la fenditura 3

\(|\phi\rangle=\frac{i}{\sqrt 2}(|+\rangle-|-\rangle)\)

si ha:

Stato finale in assenza di rivelatori

\(|s\rangle=c_\chi|\chi\rangle+c_\phi|\phi\rangle\)

\(|c_\chi|^2=1/4 \Rightarrow c_\chi=\frac{1}{2}e^{i\delta_\chi}\)

\(|c_\phi|^2=1/4 \Rightarrow c_\phi=\frac{1}{2}e^{i\delta_\phi}\)

\(|s\rangle=\frac{1}{2}e^{i\delta_\chi}
\frac{1}{\sqrt 2}(|+\rangle+|-\rangle)+\frac{1}{2}e^{i\delta_\phi}\frac{i}{\sqrt 2}(|+\rangle-|-\rangle)=\frac{1}{2\sqrt2}(e^{i\delta_\chi}+ie^{i\delta_\phi})|+\rangle+\frac{1}{2\sqrt2}(e^{i\delta_\chi}-ie^{i\delta_\phi})|-\rangle\)

Probabilità

\(P_+ =\frac{1}{8}(e^{i\delta_\chi}+ie^{i\delta_\phi})(e^{-i\delta_\chi}-ie^{-i\delta_\phi})=
\frac{1}{8}[2-ie^{i(\delta_\chi-\delta_\phi)}+ie^{-i(\delta_\chi-\delta_\phi)}]=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\sin{(\delta_\chi-\delta_\phi)}\)

\(P_- =\frac{1}{8}(e^{i\delta_\chi}-ie^{i\delta_\phi})(e^{-i\delta_\chi}+ie^{-i\delta_\phi})=
\frac{1}{8}[2+ie^{i(\delta_\chi-\delta_\phi)}-ie^{-i(\delta_\chi-\delta_\phi)}]=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\sin{(\delta_\chi-\delta_\phi)}\)

Quindi, in presenza di interferenza, le probabilità dipendono dalla differenza di fase:

\(P_+ =\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\sin{(\delta_\chi-\delta_\phi)} \Rightarrow 0 \leq P_+ \leq \frac{1}{2}\)

\(P_- =\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\sin{(\delta_\chi-\delta_\phi)} \Rightarrow 0 \leq P_- \leq \frac{1}{2}\)

\(P_++P_- =\frac{1}{2}\)

Viceversa, in assenza di interferenza, a causa della presenza dei rivelatori:

\(P_+=P_1 \cdot P_{+|1}+P_2 \cdot P_{+|2}+P_3 \cdot P_{+|3}=\frac{1}{2} \cdot 0+\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)

\(P_-=P_1 \cdot P_{-|1}+P_2 \cdot P_{-|2}+P_3 \cdot P_{-|3}=\frac{1}{2} \cdot 0+\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)

come deve essere.

P.S.
Purtroppo, non ho trovato del materiale con il quale confrontarmi. Tuttavia, visti i risultati, sono piuttosto convinto che il procedimento sia corretto.

[Landau]

Ciao Sergeant, sto leggendo con calma il tuo bellissimo post. L'unica cosa che mi lascia perplesso è che questo esercizio è il primo assegnato nel corso (in concomitanza con l'introduzione del prodotto bra-ket), mi sembra strano che la tua soluzione sia così "relativamente complicata".