La situazione è quella mostrata nell'immagine, viene applicata una forza $F$ orizzontalmente ad una massa $m$, appoggiata ad una massa $M$ e sollevata dal suolo, tra le due masse è presente un coefficiente di attrito statico $\mu_s$, mentre tra la massa $M$ e il suolo è presente un coefficiente di attrito dinamico $\mu_d$.
($m=10kg$; $M=30kg$; $\mu_s=0,5$; $\mu_d=0,2$)
Le richieste sono: la forma minima $F$ per impedire il moto relativo tra le due masse, l'accelerazione del sistema in questo caso, la forza $N$ che $M$ esercita su $m$, la forza di attrito $F_d$ esercitata dal suolo su $M$ e l'energia dissipata in funzione del tempo (supponendo che $F$ sia applicata al tempo $t=0$ con i corpi fermi).
Io ho ragionato in questo modo: se il moto relativo tra le due masse è nullo allora $m$ non si muove verticalmente, quindi lungo $y$ la risultante delle forze è nulla, cioè $F_a - mg = 0$; la forza di attrito $F_a$ tra i due corpi è proporzionale alla risultante delle forze perpendicolari alla direzione di $F_a$, ovvero $F_a = \mu_s(F-N)$, infatti $F$ tende a "spingere" $m$ contro $M$, mentre $N$ ha direzione opposta e tende a "staccare" $m$ da $M$. Considerando la superficie di contatto tra le masse, vediamo che si muove con la stessa accelerazione $a$ del sistema e le forze applicate sono $F$ e $N$, con segno opposto, quindi per il secondo principio $F-N=a(M+m)$; infine si scrive l'equazione di moto del sistema: $F-F_d = a(M+m)$.
Da queste quattro equazioni che riscrivo
1) $F_a - mg = 0$
2) $F_a = \mu_s(F-N)$
3) $F-N = a(M+m)$
4) $F-F_d = a(M+m)$
si ricava immediatamente la forza $N$ che è uguale a $F_d = \mu_dMg$, e la forza $F_a = mg$, combinando la seconda e la quarta si ottiene $F_a = mg = \mu_s(F-F_d) = \mu_s(F-\mu_dMg)$, da cui $F=g(\frac{m} {\mu_s} + \mu_dM)$, che è la forza minima per impedire il moto relativo tra i due corpi. A questo punto si ricava anche $a = \frac{F-F_d}{M+m} = \frac{mg}{\mu_s(M+m)}$. L'energia dissipata $E(t)$ è uguale a $E(t) = -\DeltaK$ e per il teorema dell'energia cinetica questa variazione è uguale al lavoro delle forze non conservative nella direzione del moto: $E(t) = \int_{0}^{l(t)} (F-F_d)dl = (F-F_d)l(t) = g \frac{m}{\mu_s}l(t)$, da $a$ si ricava $l(t) = \frac{mg}{2\mu_s(M+m)}t^2$, da cui $E(t) = \frac{m^2g^2}{2\mu_s^2(M+m)}t^2$.
Secondo voi sto commettendo degli errori logici? Come risolvereste questo esercizio?
Ringrazio tutti per l'attenzione.
, a quanto ho capito l'equazione di moto per la massa $m$ è $F-N=ma$, mentre per la massa $M$ è $N-F_d=Ma$, giusto? 