Cilindro adiabatico con una molla.

[Nagato]

Un cilindro adiabatico lungo $l$ e di sezione $S$ è diviso in tre parti da due setti adiabatici mobili senza attrito collegati da una molla di costante elastica $k$ e lunghezz a riposo $l_0$. Sia in $A$ che i $B$ ci sono $n$ moli di gas ideale biatomico a temperatura $T_0$ e pressione $p_0$;la lunghezza della molla è $l_m$. Nella zona centrale dove c'è la molla non c'è gas. Calcolare $T_0$ e $p_0$. Si scalda molto lentamente il gas in $A$ fino a che la lunghezza della molla diventa \(\displaystyle l_m' \). Calcolare \(\displaystyle T_A, T_B, V_A, V_B \) e il calore ceduto al gas.

Sfruttando la geometria del sistema si può scrivere \(\displaystyle V_0=(V_{tot}-V_{m})/2=S(l-l_m)/2\) dato che il volume di $A$ e di $B$ deve essere lo stesso. Inoltre, siccome inizialmente il sistema si trova in equilibrio, la pressione di ciascun gas deve bilanciare la forza elastica della molla, secondo l'equazione \(\displaystyle p_0S=k(l_m-l_0) \). La temperatura si trova quindi dall'equazione di stato \(\displaystyle T_0=p_0V_0/nR \).

Dopo aver riscaldato il gas, $B$ subisce una trasformazione adiabatica (in quanto circondato da pareti che non permettono alcun scambio di calore), e quindi posso ricavare il suo nuovo volume dall'equazione \(\displaystyle p_0V_0^{\gamma}=p_BV_B^{\gamma} \) e di conseguenza, \(\displaystyle V_A=S(l-l_m')-V_B \). La nuova temperatura è data da \(\displaystyle T_B=p_BV_B/nR \), dove \(\displaystyle p_B \) (\(\displaystyle =p_A \) per ragioni di equilibrio) si ricava dalla nuova condizione di equilibrio \(\displaystyle p_BS=k(l_m'-l_0) \). Usando ancora una volta l'equazione di stato ricavo infine \(\displaystyle T_A=p_AV_A/nR \).

Il calore totale scambiato durante la trasformazione è \[\displaystyle Q=\Delta U_A+\Delta U_B+\underbrace{W_{AB}}_{= \ -W_m \ = \ \Delta U_p}=nc_v(T_A+T_B-2T_0)+1/2k(l_m'-l_m)^2. \] Secondo voi va bene questo svolgimento? Ho un dubbio: il calore viene fornito soltanto al gas $A$ che si trova racchiuso da pareti adiabatiche, quindi mi chiedevo se fosse corretto considerare anche la variazione di energia interna del gas in $B$. Inoltre, quando il testo mi dice che la trasformazione avviene molto lentamente, devo intendere che si tratta di una trasformazione reversibile?