Ciao, io ho provato a svolgere l'esercizio ma credo di aver preso delle sviste, posto ugualmente per vedere cosa c'è che non va!
Chiamando $t_0$ l'istante di tempo in cui la forza elettrica del protone comincia a fare effetto sull'elettrone e $t_1$ l'istante in cui l'elettrone cessa di risentire di tale forza, si ha dal teorema dell'impulso: \(\Delta \mathbf{p}=\int_{t_0}^{t_1}\mathbf{F}\mathrm dt \).
Chiaramente la forza in questione è quella di Coulomb, cioè $\mathbf{F}=(q_1q_2)/(4\pi\epsilon_0r^2)\hat\mathbf{r}$.
Il calcolo tra $t_0$ e $t$ però risulterebbe complicato senza qualche ipotesi aggiuntiva; ad esempio, supponiamo che la velocità $\mathbf{v}=v_0\hat\mathbf{x}$ del protone sia tale per cui nell'intervallo \(\displaystyle \Delta t \) l'elettrone rimanga essenzialmente fermo.
In queste condizioni, considerando le configurazioni del protone nell'intervallo \(\displaystyle x<x_e \), dove \(\displaystyle x_e \) è la coordinata dell'elettrone sull'asse delle $x$, si vede subito che per ragioni di simmetria rispetto all'intervallo \(\displaystyle x>x_e \) la componente lungo $x$ dell'impulso è nulla, mentre quella sull'asse $y$ raddoppia.
Introducendo nell'integrale il cambio di variabili \(\displaystyle t=x/v_0 \) salta quindi fuori che \[\displaystyle \Delta p=\int_{x_0}^{x_1} \frac{2\sin\theta e^2}{4v_0\pi\epsilon_0\sqrt{x^2+a^2}}\mathrm dx=\int_{x_0}^{x_1} \frac{2ae^2}{4v_0\pi\epsilon_0(x^2+a^2)}\mathrm dx=\frac{e^2}{2v_0\pi\epsilon_0}\left\{\arctan\frac{a}{v_0t_0}-\arctan\frac{a}{v_0t_1}\right\}, \] dove ho usato il fatto che \(\displaystyle \sin\theta=a/r \) e \(\displaystyle r=\sqrt{x^2+a^2} \). Il problema evidente è che ponendo $t_0=0$ la soluzione non è definita. Dove sbaglio?
Edit: mi sono accorto di un errore, l'integrale corretto è \[\displaystyle \Delta p=\int_{x_0}^{x_1} \frac{2\sin\theta e^2}{4v_0\pi\epsilon_0(x^2+a^2)}\mathrm dx=\int_{x_0}^{x_1} \frac{2ae^2}{4v_0\pi\epsilon_0(x^2+a^2)^{3/2}}\mathrm dx=\frac{e^2}{2av_0\pi\epsilon_0}\left\{\frac{v_0t_1}{\sqrt{a^2+v_0^2t_1^2}}-\frac{v_0t_0}{\sqrt{a^2+v_0^2t_0^2}}\right\}\underbrace{\Rightarrow}_{\text{se }t_0 \ = \ 0}\Delta \mathbf{p}(t)=\frac{e^2}{2av_0\pi\epsilon_0}\left\{\frac{v_0t}{\sqrt{a^2+v_0^2t^2}}\right\}\mathbf{u}_y \] dove $t$ è la durata dell'urto. Adesso però non so se mi è lecito introdurre questo parametro, su cui si basa un po' tutta la mia soluzione
