Urto - Rottura in pezzi

[Frank98]

Un recipiente di vetro, cadendo veticalmente da un tavolo si rompe in tre pezzi di massa m1 = 100g, m2 = 200g, m3 = 500g. Sapendo che i primi due pezzi immediatamente dopo l’urto si muovono sul pavimento, in due direzioni ortogonali con velocità pari rispettivamente a 3 m/s e 2 m/s, si calcoli il modulo della velocità con cui si muove, subito dopo l’urto, il terzo pezzo.

Mi pare che dove usare la conservazione della quantità di moto e dell'energia cinetica, quindi imposto così:

$(m1+m2+m3)*v=m1*v1+m2*v2+m3*v3$
$(m1+m2+m3)*v^2=m1*v1^2+m2*v2^2+m3*v3^2$

Giusta l'impostazione?

[Frank98]

Dunque, si consideri un piatto di massa \(\small m_1 + m_2 + m_3\) che sta cadendo da un tavolo a velocità \(\mathbf{v} = \left(0,\,0,\,v_z\right)\).
Ad un certo istante urta il pavimento e si rompe in tre pezzi, che appena dopo l'urto hanno rispettivamente
massa \(m_1\), \(m_2\), \(m_3\) e velocità \(\mathbf{v}_1 = \left(v_{1x},\,0,\,0\right)\), \(\mathbf{v}_2 = \left(0,\,v_{2y},\,0\right)\), \(\mathbf{v}_3 = \left(v_{3x},\,v_{3y},\,0\right)\).

Dato che all'istante dell'urto le uniche forze agenti sul piatto sono il peso e la reazione vincolare del pavimento,
entrambe agenti lungo la direzione \(z\), l'unica cosa certa è che si conservi la componente orizzontale della quan-
tità di moto totale del sistema. In particolare, imponendo tale conservazione rispettivamente in direzione \(x\) e
in direzione \(y\), si ottiene un sistema di due equazioni nelle incognite \(v_{3x}\), \(v_{3y}\), che una volta note permettono
di calcolare il modulo di \(\mathbf{v}_3\), come desiderato.

Ah cavolo mi sembra difficile come esercizio, quindi quello che ho scritto io non serve? Posso vedere lo svolgimento?

[Vulplasir]

Lo svolgimento te l'ha appena detto...

[Bokonon]

Un recipiente di vetro, cadendo veticalmente da un tavolo si rompe in tre pezzi di massa m1 = 100g, m2 = 200g, m3 = 500g. Sapendo che i primi due pezzi immediatamente dopo l’urto si muovono sul pavimento, in due direzioni ortogonali con velocità pari rispettivamente a 3 m/s e 2 m/s, si calcoli il modulo della velocità con cui si muove, subito dopo l’urto, il terzo pezzo.

In realtà non possiamo escludere che il terzo pezzo non rimbalzi verso l'alto dai dati del problema...ma sarebbe crudele se lo facesse.
Ragioniamo in modo semplice. Il recipiente cade e l'urto col pavimento lo spacca in tre pezzi che vanno tutte in direzioni orizzontali. E' equivalente ad una una collisione superelastica...insomma stessa cosa di un blocco di cemento posto su un piano con una carica di dinamite inserita e pronta ad esplodere.
Il punto dell'urto è il nostro centro di massa del sistema e una proprietà notevole del centro di massa è che il momento totale rispetto ad esso è sempre pari a zero indipendentemente dal tipo di urto. Inoltre sappiamo che due direzioni sono ortogonali, quindi possiamo tracciare i vettori della quantità di moto dei primi due pezzi con l'origine come centro di massa.



Come detto sopra, il momento totale del sistema rispetto al CM dev'essere pari a zero, quindi $p_3=(-300, -400)$
Dato che conosciamo la massa del terzo pezzo possiamo scomporre il vettore del momento in $p_3=m*v_3=500*(-3/5, -4/5)$
La norma della velocità è $|v_3|= sqrt(9/25+16/25)=1 m/s$