Matematicamente.it

Salve avrei bisogno di un aiuto su 3 domande che non capisco:

1)Calcolare la velocità di un elettrone (o protone) posto in una struttura acceleratrice con campo elettrico longitudinale costante; stessa cosa per campo elettrico longitudinale oscillante.

2) Calcolare il tempo affinché la particella, partendo da ferma, raggiunga una energia pari al doppio della sua massa a riposo.

Grazie a chiunque abbia voglia di aiutarmi. Magari anche non svolgendo tutti i calcoli ma solo impostando i passaggi, ve ne sarei davvero grato.

Mi sembra, se non sbaglio, un semplice esercizio di dinamica del punto materiale, a parte la conversione massa energia.
Comunque devi scrivere un tuo tentativo almeno di soluzione.

E' che non so come impostare le equazioni...se non volete scrivermele anche solo un'idea sarebbe meglio di niente.

Io troverei il legame tra il campo elettrico e la forza che ne risulta essere applicata alla particella. Poi dal secondo principio della dinamica trovi la velocità.

Sì ma il punto è : devo usare l'equazione del moto relativistica o quella classica?

Usa quelle normali... almeno secondo me. Poi se ti vengono velocità esorbitanti e vuoi essere puntiglioso, rifai i calcoli tenendo conto della correzione relativistica.

Tomt ha scritto:Sì ma il punto è : devo usare l'equazione del moto relativistica o quella classica?

Non c'è una equazione del moto relativistica e una classica . Piuttosto, bisogna parlare di energia cinetica relativistica oppure classica. Il problema non dà dei dati, ma dice che il campo elettrico longitudinale è costante. Quindi il moto è accelerato, e in RR è difficile parlare di moti accelerati. Tuttavia, si può dire qualcosa sfruttando la variazione di energia cinetica, poiché esse differiscono nei due casi.

Supponiamo di avere un tubo a raggi catodici, come quelli delle televisioni di una volta. La differenza di potenziale tra catodo e anodo si aggira intorno ai $50kV$ , la distanza è circa 0.5m ( ho trovato questi dati in un vecchio analogo esercizio, perciò li adotto) . L'elettrone ha una massa $m$ ( evito di scrivere con il fastidioso pedice $m_e$ , per non complicare la scrittura ogni volta) , pari a :

$m = 0.511 (MeV)/c^2 $

questo è il modo più comune di scrivere le masse delle particelle elementari . Si Può esprimere, volendo, la massa in $kg$ , visto che :

$1eV = 1.6*10^(-19)J $

ma il modo più comune è quello prima detto. In questo modo , si ha subito che l'energia di quiete vale :

$mc^2 = 0.511 MeV = 511 keV$

Se l'elettrone si muove in un campo dove la differenza di potenziale è $V = 50kV$, sotto l'azione di una forza elettrica costante , evidentemente la sua energia cinetica aumenta di :

$K = 50keV $

Allora , nel caso classico , che si ha quando $v"<<"c$, si può porre : $K \approx 1/2mv^2$ , e facendo i conti risulta :

$v= 0.442c$

SE invece vogliamo adottare la formula relativistica per l'energia cinetica , dobbiamo scrivere che :

$K = (gamma-1)mc^2$

dove , al solito : $gamma = (1-(v/c)^2)^(-1/2) $

Teniamo presente che qui si suppone $v = "cost"$ , quindi anche $gamma = "cost"$ .

Si ha, con un po' di algebra , che : $gamma = (K+mc^2)/(mc^2) \rightarrow $



Sostituendo i valori dati per $K$ e per $m$ , si ottiene ( se non ho sbagliato i conti ) : $v= 0.412c$

Cioè , adottando la formula relativistica per l'energia cinetica , la velocità , supposta costante, è leggermente inferiore.

Notiamo che l'espressione classica $K= 1/2mv^2$ si ottiene , per bassi valori di $v$ , dallo sviluppo in serie di $gamma $ fermandosi ai primi termini :

$gamma = (1-(v/c)^2) ^(-1/2) \approx 1 + 1/2(v/c)^2 +...$

e sostituendo nella formula relativistica dell'energia : $K = (1 + 1/2(v/c)^2 -1) mc^2 = 1/2mv^2$