Tomt ha scritto:Sì ma il punto è : devo usare l'equazione del moto relativistica o quella classica?
Non c'è una equazione del moto relativistica e una classica . Piuttosto, bisogna parlare di energia cinetica relativistica oppure classica. Il problema non dà dei dati, ma dice che il campo elettrico longitudinale è costante. Quindi il moto è accelerato, e in RR è difficile parlare di moti accelerati. Tuttavia, si può dire qualcosa sfruttando la variazione di energia cinetica, poiché esse differiscono nei due casi.
Supponiamo di avere un tubo a raggi catodici, come quelli delle televisioni di una volta. La differenza di potenziale tra catodo e anodo si aggira intorno ai $50kV$ , la distanza è circa 0.5m ( ho trovato questi dati in un vecchio analogo esercizio, perciò li adotto) . L'elettrone ha una massa $m$ ( evito di scrivere con il fastidioso pedice $m_e$ , per non complicare la scrittura ogni volta) , pari a :
$m = 0.511 (MeV)/c^2 $
questo è il modo più comune di scrivere le masse delle particelle elementari . Si Può esprimere, volendo, la massa in $kg$ , visto che :
$1eV = 1.6*10^(-19)J $
ma il modo più comune è quello prima detto. In questo modo , si ha subito che l'energia di quiete vale :
$mc^2 = 0.511 MeV = 511 keV$
Se l'elettrone si muove in un campo dove la differenza di potenziale è $V = 50kV$, sotto l'azione di una forza elettrica costante , evidentemente la sua energia cinetica aumenta di :
$K = 50keV $
Allora , nel caso classico , che si ha quando $v"<<"c$, si può porre : $K \approx 1/2mv^2$ , e facendo i conti risulta :
$v= 0.442c$
SE invece vogliamo adottare la formula relativistica per l'energia cinetica , dobbiamo scrivere che :
$K = (gamma-1)mc^2$
dove , al solito : $gamma = (1-(v/c)^2)^(-1/2) $
Teniamo presente che qui si suppone $v = "cost"$ , quindi anche $gamma = "cost"$ .
Si ha, con un po' di algebra , che : $gamma = (K+mc^2)/(mc^2) \rightarrow $
$v/c = sqrt(1-(1+K/(mc^2))^-2) $
Sostituendo i valori dati per $K$ e per $m$ , si ottiene ( se non ho sbagliato i conti ) : $v= 0.412c$
Cioè , adottando la formula relativistica per l'energia cinetica , la velocità , supposta costante, è leggermente inferiore.
Notiamo che l'espressione classica $K= 1/2mv^2$ si ottiene , per bassi valori di $v$ , dallo sviluppo in serie di $gamma $ fermandosi ai primi termini :
$gamma = (1-(v/c)^2) ^(-1/2) \approx 1 + 1/2(v/c)^2 +...$
e sostituendo nella formula relativistica dell'energia : $K = (1 + 1/2(v/c)^2 -1) mc^2 = 1/2mv^2$