uguaglianza numeri complessi e surface plasmon polaritons

[gemini.93]

Salve,ho un problema di tipo più matematico che concettuale, sto affrontando l'argomento dei surface plasmon polaritons, mi sono imbattuto nella relazione da cui deriva la lunghezza di propagazione e la distanza di evanescenza nei due materiali (rispettivamente un dielettrico e un metallo), andando a considerare un caso non ideale, cioè considerando il metallo formato da parte reale ed immaginaria, si procede al calcolo dei \(\displaystyle K'_x \) e \(\displaystyle K''_x \). Vi posto in allegato il l'immagine con il procedimento fatto, il quale ho ripetuto e sono arrivato anche il alla relazione finale (cerchiata in rosso)
tramite l'uguaglianza si ricavano questi valori di \(\displaystyle K'_x \) e \(\displaystyle K''_x \), ma sinceramente non riesco a cogliere il ragionamento fatto, in particolare sull'uguaglianza dei numeri complessi. Volevo chidere se magari qualcuno avesse idee o suggerimenti in merito
Grazie mille

[gugo82]

Si sta supponendo che $epsilon_2$ è reale e che il coefficiente dell'immaginario di $epsilon_1$ è piccolo, cosicché è lecito trascurare contributi di ordine superiore: questo spiega la comparsa del simbolo $\cong$ al posto di $=$.
I calcoli, cioè i prodotti ed i quadrati dei numeri, sono sviluppati con le solite regole di calcolo.
E la parte reale ed il coefficiente dell'immaginario di $k_1$ sono determinati in maniera approssimata risolvendo semplici equazioni reali.

Quindi, dov'è il problema?

[gemini.93]

Nell'ultima parte, quella cerchiata in rosso grande, si arriva ad una eguaglianza che permette di determinare \(\displaystyle k'_x \) e \(\displaystyle k''_x \), quale ragionamento è stato fatto per dedurre che \(\displaystyle k'_x = \) \(\displaystyle \sqrt{(\epsilon'_1 \epsilon_2) \over (\epsilon'_1 + \epsilon_2)} \) e quale k''_x. Nel senso, da dove escono fuori e perchè.
Non vorrei farti dilungare molto, se riesci a spiegarmelo te ne sarei davvero grato

[gugo82]

Scusa, ma c'è scritto che:
\[
(k_x^\prime)^2 + \imath\ 2k_x^\prime k_x^{\prime \prime} \cong \frac{(\epsilon_1^\prime)^2 \epsilon_2 + \epsilon_1^\prime \epsilon_2^2}{(\epsilon_1^\prime + \epsilon_2)^2}\ \frac{\omega^2}{c^2} + \imath\ \frac{\epsilon_1^{\prime \prime} \epsilon_2^2}{(\epsilon_1^\prime + \epsilon_2)^2}\ \frac{\omega^2}{c^2}
\]
e basta separare il reale dall'immaginario, mettere in evidenza, semplificare ed usare un po' di calcolo letterale da prima superiore per ottenere i valori di \(k_x^\prime\) e \(k_x^{\prime \prime}\).


P.S.: Che notazione terribile!