Problema Sant'Anna 2016

[4,3 PERIODICO]

Eccomi di ritorno.

...
Per quanto riguarda il secondo punto io ho ragionato così:
Per calcolare il tempo (in funzione di v) che il sacco impiega a raggiungere l'altezza massima ho posto uguale a 0 la velocità perpendicolare:
$ v*senalpha - g*t = 0 $
...

Questa non l'ho capita .

Io ho fatto questo ragionamento. Abbiamo detto che la velocità è costante e la forza motrice è uguale in modulo alla forza resistente , cioè...

Secondo me, guardando anche la figura, non è possibile avere una velocità al di sopra di un certo limite in quanto il sacco volerebbe oltre il piano orizzontale. Di conseguenza per ottenere il minor tempo possibile, basta ottenere la velocità massima tale che il sacco atterri esattamente sul bordo del piano orizzontale di lunghezza L.
(Inoltre L non è la lunghezza del nastro ma del piano orizzontale).

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Certo, va benissimo

[Shackle]

Secondo me, guardando anche la figura, non è possibile avere una velocità al di sopra di un certo limite in quanto il sacco volerebbe oltre il piano orizzontale. Di conseguenza per ottenere il minor tempo possibile, basta ottenere la velocità massima tale che il sacco atterri esattamente sul bordo del piano orizzontale di lunghezza L.
(Inoltre L non è la lunghezza del nastro ma del piano orizzontale).

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Certo, va benissimo

Ecco, infatti ho sbagliato tutto : avevo interpretato $L$ come la lunghezza del nastro ; non ho guardato bene la figura, e ho letto di corsa oggi, perchè dovevo andare via; e non ho riletto il testo stasera prima di rispondere : ti chiedo scusa. L è la lunghezza del pianale , quindi è in funzione di questa che va determinata la velocità, che deve essere tale da minimizzare il tempo.

Che paletto ho preso ! Ti prego di ignorare la mia risposta , frutto di una errata interpretazione.

[4,3 PERIODICO]

Secondo me, guardando anche la figura, non è possibile avere una velocità al di sopra di un certo limite in quanto il sacco volerebbe oltre il piano orizzontale. Di conseguenza per ottenere il minor tempo possibile, basta ottenere la velocità massima tale che il sacco atterri esattamente sul bordo del piano orizzontale di lunghezza L.
(Inoltre L non è la lunghezza del nastro ma del piano orizzontale).

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Certo, va benissimo

Ecco, infatti ho sbagliato tutto : avevo interpretato $L$ come la lunghezza del nastro ; non ho guardato bene la figura, e ho letto di corsa oggi, perchè dovevo andare via; e non ho riletto il testo stasera prima di rispondere : ti chiedo scusa. L è la lunghezza del pianale , quindi è in funzione di questa che va determinata la velocità, che deve essere tale da minimizzare il tempo.

Che paletto ho preso ! Ti prego di ignorare la mia risposta , frutto di una errata interpretazione.

Tranquilloo non è un esame

Tornando a noi, è corretta la mia interpretazone?

[Shackle]

LE formule finali per il moto parabolico di un proiettile , che danno il tempo di volo e la gittata sono :

$t = (2vsenalpha)/g$

$G = v^2/gsen2alpha$

per cui il tuo procedimento consiste nel porre la gittata uguale a $L$ , ottenendo :

$L = v^2/gsen2alpha \rightarrow v = sqrt ((gL)/(sen2alpha)) $

ma questa velocità , con $alpha = "cost" $ perchè determinato dalla condizione di cui al punto 1 , rappresenta la velocità massima , che fa arrivare il sacco alla fine del pianale $L$ . Non vedo come si possa minimizzare il tempo $t$ dato da :

$t = (2vsenalpha)/g$

per renderlo minimo, bisogna rendere minima la velocità ...a meno che il problema non intenda che si possa agire anche sull'angolo , visto che quello trovato al punto 1 è un valore massimo per $alpha$ ...

Vedendo come funzionano realmente questi trasportatori, direi che il sacco, fatta la curva in cima , fa pluff e si posa sul piano: bisogna essere realistici a volte! Il sacco ha una massa di 20 kg e non è un corpo rigido.E vero che m non c'entra qui, ma entra nella potenza...Perciò direi che la gittata è qualche decina di cm, insomma più o meno il "raggio" del sacco, altro che L ! Ma bisogna andarci a naso ...
Sono un po' perplesso, sentiamo Faussone...

[4,3 PERIODICO]

Il tempo totale di arrivo sul pianale si suddivide in tempo di percorrenza sul nastro e tempo di percorrenza in volo (moto del proiettile), per cui è sì vero che il tempo minimo di volo si ha con v=0, ma così si ha il tempo massimo di percorrenza sul nastro (infinito: il sacco non si muove), per cui, il tempo di percorrenza sul nastro si ottiene con un semplice moto rettilineo uniformemente accelerato, sommato al tempo che hai già individuato nel post precedente porterà ad una funzione in variabile v che restituisce t. A questo punto basterà trovare il tempo t minimo in funzione della velocità (con derivata o ad occhio). Scusami se non ho pubblicato un calcolo più rigoroso ma sono in treno

[Shackle]

il tempo di percorrenza sul nastro si ottiene con un semplice moto rettilineo uniformemente accelerato,

Ma dice che il nastro si muove a velocita costante !

Allora, posto $D = H/(senalpha)$ la lunghezza del nastro, occorre che sia minimo il tempo totale :

$t = D/v + (2vsenalpha)/g$

[4,3 PERIODICO]

Ahia, giusto! Ho avuto un lapsus enorme.. Allora tutto si semplifica di moltissimo, alla fine si avrà molto più semplicemente $ t1 = H/(sen alpha * v) $ e $ t2 = (2*v*senalpha)/g $. Il tempo totale è $ t=t1+t2 $. Si ha quindi lo stesso una funzione in v di cui bisogna calcolare il minimo. Corretto?

[Shackle]

Si, ho risposto mentre scrivevi. Dovrebbe venire , derivando t rispetto a v e ponendo uguale a zero : (salvo errori) :

$v = sqrt((gH)/(2sen^2alpha)) $

[Faussone]

Ciao.
Scrivo solo a parole, perché non riesco a fare i conti adesso, e poi credo non sia necessario per chi ha posto la domanda qui.

Per il secondo quesito basta, come credo abbiate fatto, considerare quale è la massima velocità che può avere il nastro affinché il sacco del contadino non voli sulla piattaforma oltre la lunghezza L.

Per il terzo quesito invece bisogna considerare quale è il range sul nastro in cui può trovarsi il sacco in modo che, una volta fermato il nastro con quella data decelerazione, il sacco riesca per inerzia a raggiungere la piattaforma.
La probabilità richiesta sarà il rapporto tra quel range e la lunghezza totale del nastro.

[RenzoDF]

... e il coefficiente di attrito dinamico, non lo usiamo?

BTW. Per l'unità di misura. $\text {s}$ , non $\text{sec}$ come fa il testo.