Urto e Impulso

[ricpnz]

Buonasera, vorrei chiedere una delucidazione sulla risoluzione del problema di dinamica allegato (tratto dall'Halliday)

La mia domanda è: chiamando $m1$ la massa di Martino, $m2$ la massa di Amelia e $m3$ la massa della canoa:

Nella risoluzione ho notato che la forza netta agente sul sistema Martino+Amelia+canoa è nulla, e nulla è dunque l'accelerazione del centro di massa del sistema, che perciò rimane fermo.

Disegnando le configurazioni iniziale e finale del sistema rispetto a un asse x con origine nel centro della canoa e applicando la formula per la posizione del centro di massa, ottengo che
- all'inizio $xcdm,i=(80kg(-3,0m)+30kg(0m)+m2(3,0m))/(110kg+m2)$
- alla fine $xcdm,f=(80kg(2,6m)+30kg(-0,4m)+m2(-3,4m))/(110kg+m2)$

Uguagliando le due equazioni e risolvendo rispetto ad $m2$ si ottiene un risultato sbagliato. Cercando di capire che errore avessi commesso, ho trovato su internet che ponendo $xcdm,f=0$ si ottiene il risultato giusto.
La mia domanda è: perché bisogna adottare questa soluzione?

Grazie in anticipo per l'attenzione e scusate se mi sono dilungato, sono nuovo nel forum e devo ancora prenderci la mano

[Camillo]

Sposto in Fisica !!

[Shackle]

Invece di assumere il riferimento con origine nel centro della canoa, che si sposta, assumilo con origine nel molo, che è fisso , sia nella configurazione iniziale che in quella finale . Guarda Questa figura :

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Inizialmente , $m_1$ si trova a distanza $d$ ( non nota, ma non occorre) dal molo , e le altre due masse come indicato in figura . Quindi si può trovare $x_(Gi)$ .

Dopo lo scambio tra $m_1$ ed $m_2$ , la canoa si è avvicinata al molo (chiaro perchè?) , quindi ora $m_2$ è a distanza $d' = d-0.40$ dal molo , ecc ecc. Puoi quindi trovare la posizione finale del baricentro $x_(Gf) $ . Ho riportato tutte le formule sul foglio .

Ponendo $x_(Gi) = x_(Gf)$ , e tenendo conto che : $d' = d- 0.40 $ (misure in metri) , puoi calcolare $m_2 = 68 kg$ .

Resnick e Halliday sono però due ingenui sprovveduti : una canoa di 30 kg , con due robusti ragazzi come quelli a bordo , si rovescia ! A meno che non sia una canoa larghissima .....ma questi sono altri discorsi ....

[ricpnz]

Ciao Shakle, grazie per la tua risposta! effettivamente scegliendo il molo come riferimento i calcoli si semplificano notevolmente, ma la sostanza non cambia, perché anche a me il risultato viene $68kg$, mentre le soluzioni riportano $58kg$.
Come ti spiegheresti che ponendo $xGf=0$ il risultato è quello giusto?

[Shackle]

Non me lo spiego, perchè è semplicemente sbagliato, per me. Il risultato giusto è : $m_2 = 68 kg$. Te lo faccio vedere in altro modo.
Ponendo $d' = d-0.40$ (metri) , e uguagliando le due espressioni seguenti ( che si ricavano facilmente) :

$x_(Gi) = d + (3m_3+6m_2)/M $
$x_(Gf) = d-0.40 + (3m_3+6m_1)/M $

si arriva , dopo qualche passaggio , a :

$3m_3 +6m_2 = -0.40(m_1+m_2+m_3) +3m_3 + 6m_1 $

da cui : $ (6+0.40)m_2 = 5.6m_1 - 0.40m_3$

cioè : $6.4m_2 = 5.6m_1 -0.4m_3$ ......(1)

da qui, si ricava il valore di $m_2 = 68 kg$

Ma l'ultima espressione (1) si può riscrivere anche cosí :

$ 5.6m_1 -6.4m_2-0.4m_3 = 0 $ .....(2)

Adesso guarda la figura. Consideriamo gli spostamenti "assoluti" delle masse , cioè riferiti alla banchina .

La massa $m_1$ si sposta di $6m$ nel verso positivo di $x$ , cioè verso destra , rispetto alla barca : ma siccome la barca si sposta di 0.40m verso sinistra , lo spostamento assoluto di $m_1$ è $5.6 m$ , e nella (2) la quantità $5.6m_1$ non è altro che la variazione di momento statico¹ della massa $m_1$ rispetto alla banchina.

Analogamente , lo spostamento assoluto di $m_2$ , nel verso negativo delle $x$ , vale $-6.4m$ , perchè allo spostamento di $-6m$ rispetto alla barca si deve sommare lo spostamento di -0.40m della barca verso sinistra . E infatti, la variazione di momento statico di $m_2$ è pari a :$ -6.4m_2$ ( guarda la figura e la (2) ) .

Stesso ragionamento per $m_3$ , il cui spostamento assoluto è $-0.40m$ , e quindi la variazione di momento statico è : $-0.40m_3$ .

Ci sei fin qui ? Ora, la somma delle variazioni di tutti e tre i momenti statici deve essere nulla, perché il CM non si deve spostare . E questo è proprio quanto scritto nella (2)

Alla (2) si poteva arrivare subito, ragionando appunto sulle variazioni dei momenti statici, la cui somma deve essere nulla; e ti dirò che è stato il primo ragionamento che ho fatto . Ma per renderti la soluzione più comprensibile , ho preferito la via delle coordinate.

Se poi qualcun altro vuole cimentarsi , e dimostra che abbiamo sbagliato, ben venga.

---

Note

1. Tu sai che cosa è il momento statico di una massa m rispetto a una retta r , vero ? È il prodotto $md$ della massa per la distanza $d$ da r . ↑

[anonymous_0b37e9]

La soluzione corretta è quella del libro. Per esempio:

Configurazione iniziale

$x_G=(m_Cl/2+ml)/(M+m_C+m)$

Configurazione finale

$x_G=(-ms+m_C(l/2-s)+M(l-s))/(m+m_C+M)$

Equazione risolutiva

$(m_Cl/2+ml)/(M+m_C+m)=(-ms+m_C(l/2-s)+M(l-s))/(m+m_C+M) rarr$

$rarr m_Cl/2+ml=-ms+m_C(l/2-s)+M(l-s) rarr$

$rarr m=(-m_Cs+M(l-s))/(l+s)~=58 kg$

[Shackle]

La soluzione corretta è quella del libro. Per esempio:

.............

Equazione risolutiva

$(m_Cl/2+ml)/(M+m_C+m)=(-ms+m_C(l/2-s)+M(l-s))/(m+m_C+M) rarr$

$rarr m_Cl/2+ml=-ms+m_C(l/2-s)+M(l-s) rarr$

$rarr m=(-m_Cs+M(l-s))/(l+s)~=58 kg$

Salve SE . La tua equazione al secondo rigo :

$ m_Cl/2+ml=-ms+m_C(l/2-s)+M(l-s) $

diventa :

$ m (l+s) = -m_Cs + M(l-s) $

da cui , sostituendo i numeri :

$ 6.4m = -0.4*30 + 5.6*80 rarr$

$rarr m = (448-12)/(6.4) = \approx 68 kg $

L'equazione :

$ m (l+s) = -m_Cs + M(l-s) $

non è altro che quella che ho indicato con (2) , e cioè , passando tutto allo stesso membro, l'annullamento della somma delle variazioni dei momenti statici, rispetto a un certo asse, che lascia immutata la posizione di $G$ .

Quindi arrivi alla mia stessa formula risolutiva, e i numeri sono quelli.

[anonymous_0b37e9]

Ciao Shackle. Poichè il testo dice che i sedili sono posti a 3 m di distanza, la lunghezza della canoa è 3 m, non 6 m.

[Shackle]

Ah, se la distanza tra i sedili è tre metri, allora va bene $m_2 =58 kg$ circa . Ho dato solo una distratta occhiata al testo , avevo inteso che i sedili fossero a $+-3m$ dal centro. Mi sembra che anche l' OP avesse interpretato cosi il testo , che non è chiarissimo.

Comunque, il ragionamento fisico alla base della formula finale è corretto , ed è ciò che conta .

E, in ogni caso, Resnick e Halliday devono morire....

[anonymous_0b37e9]

Non mi ero accorto che avevi semplicemente considerato una diversa lunghezza della canoa. Insomma, mi sarei potuto risparmiare un po' di conti.

... devono morire ...

Porta pazienza.