Aiuto esercizi

[Pivot]

Salve a tutti, volevo alcune spiegazioni sulla risoluzione di questi esercizi...

1)
Un condensatore a piatti paralleli di capacità $C=13,5pF$ presenta tra i suoi piatti una differenda di potenziale $V_0=12,5V$
La batterie viene scollegata e tra i piatti viene inserita una lastra di procellana di costante dielettrica $epsilon=6,5$. Qual'è la differenza di energia immagazzinata dal condensatore $U_f - U_i$ prima e dopo l'inserimento della piastra?
Se la lastra è inserita sensa staccare la batteria quanto vale $U_f - U_i$?

2)
Un condensatore piano di area $A=115cm^2$ e distanza tra i piatti $d=1,24cm$ Inizialmente esso è caricato tramite una batteria di d.d.p. $V_0=85,5V$; la batteria viene poi distaccata e tra i piatti si inserisce, in posizione mediana, una lastra di spessore$b=0,78cm$ e costante dielettrica $epsilon_r=2,61$
Cacolara da differenza di potenziale ai capi del condensatore dopo che è stata inserita la lastra.

3)
Si carica un condensatore a piatti paralleli collegandolo a una batteria ideale, che poi viene staccata. L'energia accumulata nel condensatore vale $U_0$ Raddoppiando ora la distanza tra i piatti qunat'è l'energia immagazzinata nel condensatore e perchè?

Grazie anticipate.

[Pivot]

1)
Un condensatore a piatti paralleli di capacità $C=13,5pF$ presenta tra i suoi piatti una differenda di potenziale $V_0=12,5V$
La batterie viene scollegata e tra i piatti viene inserita una lastra di procellana di costante dielettrica $epsilon=6,5$. Qual'è la differenza di energia immagazzinata dal condensatore $U_f - U_i$ prima e dopo l'inserimento della piastra?
Se la lastra è inserita sensa staccare la batteria quanto vale $U_f - U_i$?


2)
Un condensatore piano di area $A=115cm^2$ e distanza tra i piatti $d=1,24cm$ Inizialmente esso è caricato tramite una batteria di d.d.p. $V_0=85,5V$; la batteria viene poi distaccata e tra i piatti si inserisce, in posizione mediana, una lastra di spessore$b=0,78cm$ e costante dielettrica $epsilon_r=2,61$
Cacolara da differenza di potenziale ai capi del condensatore dopo che è stata inserita la lastra.



3)
Si carica un condensatore a piatti paralleli collegandolo a una batteria ideale, che poi viene staccata. L'energia accumulata nel condensatore vale $U_0$ Raddoppiando ora la distanza tra i piatti qunat'è l'energia immagazzinata nel condensatore e perchè?



Grazie anticipate.

[elgiovo]

1) Per la relazione $C=Q/(DeltaV)$ la carica sul condensatore è $Q=CV_0$. L'energia immagazzinata
vale pertanto $U_i=1/2 (CV_0)^2/C=1/2CV_0^2$. Inserendo un dielettrico e staccando la batteria, la
nuova capacità del condensatore è $C_1=varepsilonC$, mentre la carica rimane la stessa. Perciò
l'energia finale $U_f=1/2 (CV_0)^2/(varepsilonC)=1/2 (CV_0^2)/varepsilon$, e $DeltaU=U_f-U_i=1/2 CV_0^2(1/varepsilon-1)$.
Se non si stacca la batteria, allora a rimanere invariata è la ddp $V_0$. Allora la carica $Q$ sul
condensatore vale $Q_0=CV_0$ all'inizio, $Q_1=varepsilonCV_0$ alla fine, da cui
$DeltaU=U_f-U_i=1/2 (varepsilonCV_0)^2/varepsilonC-1/2(CV_0)^2/C=1/2CV_0^2(varepsilon-1)$.

[elgiovo]

2) La capacità $C_0$ del condensatore "a riposo" è $C_0=varepsilon_0 A/d$, quindi la carica
depositata sulle lastre vale $Q=varepsilon_0 A/d V_0$. Inserendo una lastra nel mezzo dei piatti,
la carica $Q$ non cambia, ed è come se si avessero tre condensatori in serie, le cui capacità sono
$C_1=C_3=varepsilon_0 A/((d-b)/2)$, $C_2=varepsilon_0varepsilon_r A/b$. Come noto, per ottenere
la capacità equivalente di tre condensatori in serie si procede così: $1/C_(eq)=1/C_1+1/C_2+1/C_3$;
$C_(eq)=(Avarepsilon_0varepsilon_r)/(dvarepsilon_r-b(varepsilon_r-1))$. Dunque, per la solita legge del condensatore
$C=Q/V$, $V_1=C_(eq)Q=(Avarepsilon_0varepsilon_r)/(dvarepsilon_r-b(varepsilon_r-1))cdotvarepsilon_0 A/d V_0=(A^2varepsilon_0^2varepsilon_rV_0)/(d^2varepsilon_r-bd(varepsilon_r-1))$.

[elgiovo]

3) Si ha che $C_1=varepsilon_0A/d$ e $C_2=varepsilon_0 A/(2d)$, $U_0=1/2 Q^2/(varepsilon_0A/d)$, da cui $Q=sqrt((2varepsilon_0AU_0)/d)$.
Poichè la carica sulle armature rimane la stessa, $U_1=1/2 Q^2/C_2=1/2( (2varepsilon_0AU_0)/d)/(varepsilon_0 A/(2d))=2U_0$.