Sfera conduttrice immersa per metà in un dielettrico

[Dal]

Ciao ragazzi, vorrei chiedervi un aiuto su un esercizio che ho trovato sul libro "Introduction to electrodynamics" (es. 4.39 della quarta edizione) di Griffiths.
L'esercizio chiede di determinare il potenziale e il campo elettrico di una sfera conduttrice a potenziale fisso $ V_0 $ (che porta una carica $ Q_0 $ libera sulla superficie), di raggio R e immersa in un dielettrico lineare, omogeneo,isotropo in modo che ne emerga per metà (cioè si trova per metà nel dielettrico e per metà nel vuoto); in particolare viene chiesto di verificare che il potenziale è ovunque uguale al potenziale generato dalla sfera conduttrice nel vuoto. Vengono dati anche suggerimenti su come svolgerlo: viene consigliato di utilizzare la seguente forma del potenziale $ V_((r))=V_0 R/r $ in tutto lo spazio e verificare che rispetta le condizioni al contorno imposte dalla configurazione del sistema, cioè, se chiamiamo rispettivamente $ V_1 $ e $ V_2 $ i potenziali nel vuoto e nel dielettrico, devono essere soddisfatte le relazioni $ V_(1(R))=V_(2(R))=V_0 $, $ (partial V_(1(r)))/(partial n)=epsilon_r(partial V_(2(r)))/(partial n) $ e $ V_(1,2(r))rarr 0 $ per $ r rarr+oo $. Tutte queste condizioni si verificano facilmente tenendo conto che $ V_1=V_2=V_((r))$ e, assieme alla $ grad^2V=0 $, tramite il teorema di unicità della soluzione dell'equazione di Poisson per le funzioni armoniche, si può affermare che $ V_((r))=V_0 R/r $ è l'unico potenziale possibile. Il problema che ho riguarda invece la connessione tra il termine $ V_0 $ e la carica $ Q_0 $ depositata sulla superficie; se il potenziale V dovesse essere quello generato da una sfera conduttrice nel vuoto, allora dovremmo avere $ V_((r))=V_0 R/r= Q_0/(4piepsilon _0)1/r $ e quindi $ V_0=Q_0/(4piepsilon _0)1/R $. D'altra parte, se utilizzo il teorema di Guass per $ vec(D)=epsilon _0vec(E)+vec(P) $, calcolando il flusso di $ vec(D) $ attraverso una sfera $ S_((R')) $ di raggio $ R'>R $ e concentrica alla sfera conduttrice, ottengo:
$Q_0= int_(S_((R')))vec(D)\cdot d vec(S)= int_(S_(1(R')))vec(D)_1\cdot d vec(S) + int_(S_(2(R')))vec(D)_2\cdot d vec(S)= int_(S_(1(R')))epsilon _0E_((R)) dS + int_(S_(2(R')))epsilon _0 epsilon _rE_((R)) dS $ ( dove faccio una distinzione $ D_1 $ e $ D_2 $ per indicare lo spostamento elettrico nei due materiali, mentre $ S_(1(R')) $ e $ S_(2(R')) $ indicano rispettivamente l'emisfero superiore, immerso nel vuoto, e l'emisfero inferiore, immerso nel dielettrico).
Continuando la catena di uguaglianze :
$ int_(S_(1(R')))epsilon _0E_((R)) dS + int_(S_(2(R')))epsilon _0 epsilon _rE_((R)) dS= epsilon _0V_0 2piR+epsilon _0epsilon _rV_0 2piR=epsilon _0V_0 2piR(1+epsilon _r) $ , da cui $ V_0=Q_0/(2piepsilon_0R(1+epsilon_r)) $, che non è evidentemente il risultato voluto. Non riesco a capire dove sbaglio, magari sto usando in modo errato il teorema di Gauss, anche se ci ho pensato sù più e più volte... Riuscite a dirmi dov'è l'errore che commetto?

[Quinzio]

L'errore e' di assumere che il campo elettrico non cambi nelle due semisfere (con e senza dielettrico), e il vettore spostamento cambi.
Ma e' vero il contrario.
E' il vettore spostamento a rimanere uguale, e il campo elettrico si "adatta" alla presenza del dielettrico.
In pratica il dielettrico "indebolisce" il campo elettrico.

[Dal]

Forse non ho spiegato bene la configurazione: la sfera è immersa per metà nel dielettrico, cioè, tracciando un equatore sulla sfera, tutto lo spazio sotto l'equatore è occupato dal dielettrico, tutto quello sopra l'equatore è occupato dal vuoto. Se $ vec(E)=-vec(grad) V=V_0R/(r^2)hat(r) $ e V è lo stesso in tutto lo spazio, non può essere diverso il campo elettrico nei due materiali. Oltretutto sappiamo che il campo elettrico è radiale e deve rispettare la condizione al contorno $ E_(1t)=E_(2t) $, dove $ E_(1t) $ ed $ E_(2t) $ sono i campi elettrici tangenti alla superficie di separazione dei due materiali provenienti rispettivamente dal vuoto e dal dielettrico; ma poichè il campo elettrico ha, sulla superficie di separazione tra i due dielettrici, solo componente tangente alla superficie, se fossero diversi i campi nei due materiali la condizione al contorno prima citata non verrebbe rispettata (almeno secondo quello che mi sembra di aver capito). E ancora, dato che mi viene chiesto nell'esercizio di verificare che il campo elettrico è lo stesso di quello generato dalla sfera conduttrice nel vuoto, non vedo come può essere diverso nei due materiali;quindi non sono io che ho supposto il campo elettrico uguale nei due materiali, mentre lo spostamento elettrico D differente, è solo una conseguenza di quello che mi viene dato dal libro come suggerimento. Qui sotto riporto il testo dell'esercizio e una soluzione che ho trovato, ma di cui non capisco ancora quel particolare..

[Dal]

Mi piacerebbe sapere cosa ne pensi Quinzio, comunque alla fine ho trovato la soluzione al problema, che appunto rivela essere corretta la legge di Gauss che ho utilizzato, come anche il fatto che il campo elettrico rimanesse uguale e lo spostamento elettrico cambiasse. Non riesco a caricare qui il pdf della soluzione però...