Esercizio campo magnetico e densità di corrente

[BigDummy]

Salve a tutti,
mi aiutereste a capire concettualmente come si svolge questo esercizio?

Nello spazio è assegnato un sistema di assi cartesiani $xyz$. Si hanno due piani paralleli distanti $2h$ fra loro e disposti parallelamente al piano $xy$ e simmetricamente rispetto ad esso (piani di equazione $z=h$ e $z=−h$). Nel volume compreso tra questi piani scorre corrente elettrica con densità uniforme $J=(J_x(t), J_y(t), 0)$, le cui componenti $x$ e $y$ dipendono dal tempo secondo le leggi $J_x(t)=J_0cos(ωt)$; $J_y(t)=J_0cos(2ωt)$, dove $J_0$ e $ω$ sono quantità assegnate. Una spira quadrata di lato $2h$ e resistenza $R$ giace sul piano $xz$ con un lato sull’asse x. Calcolare la potenza (valore istantaneo e valore medio) dissipata sulla spira.

Di solito scrivo sempre un tentativo di risoluzione, ma in questo caso vorrei capire proprio dal punto di vista teorico i seguenti concetti:(presi dalla soluzione del prof)

La corrente che fluisce in direzione y genera solo campo magnetico lungo x, e, viceversa, $J_x$ genera $B_y$; quanto alla componente $B_z$ essa è ovunque nullo. Essendo il piano della spira perpendicolare alla direzione y, dobbiamo preoccuparci solo di $J_x$. Applicando la legge di Ampère, si trova che $B_y=µ_0J_xh$ per $z>h$ e $B_y=µ_0J_xz$ per $z<h$.

Qualcuno potrebbe spiegarmi quindi teoricamente come si arriva a queste considerazioni?
Vi ringrazio

[mgrau]

Che una corrente che fluisce in un piano produca un campo magnetico parallelo al piano e perpendicolare al flusso di corrente, di senso opposto sui due lati, si ricava dalle solite considerazioni di simmetria (un po' come si ricava il campo elettrico di un piano indefinito).

[BigDummy]

Io sapevo che una corrente che scorre lungo un'asse,per esempio $z$, crea delle linee di campo, su un piano ortognale a $z$, alle quali il campo magnetico è tangente.
Quindi la componente x della densità di corrente , non dovrebbe generare un campo magnetico giacente nel piano $yz$?
Se si, allora perché non c'è componente z del campo magnetico?
Ho un po' di lacune sotto questo punto di vista,quindi come al solito potrei aver detto stro***te.

[mgrau]

Se non ti piacciono gli argomenti basati sulla simmetria, ti propongo una cosa più ruspante.
Se immagini la corrente che scorre su un piano come formata da tanti fili paralleli percorsi da correnti concordi, i campi magnetici che si formano sono come in figura (i fili sono visti in sezione come puntini)




da cui si riesce a immaginare come le componenti "verticali" si annullano, e restano solo quelle "orizzontali"

[BigDummy]

Ok, però non riesco a capire perché le componenti verticali si annullano e le orizzontali no

[mgrau]

Ok, però non riesco a capire perché le componenti verticali si annullano e le orizzontali no

Beh, mi pare evidente... se guardi due fili contigui, i campi verticali nel punto medio sono discordi, mentre quelli orizzontali, sopra e sotto, sono concordi

[BigDummy]

Perdona la risposta tardiva.
Comunque ho capito.
Tuttavia adesso non mi torna questo

Applicando la legge di Ampère, si trova che $B_y=µ_0J_xh$ per $z>h$ e $B_y=µ_0J_xz$ per $z<h$. Il flusso attraverso la spira risulta pertanto pari a$ 2h×h×µ_0J_xh$ per la parte esterna alla distribuzione di corrente e $2hint_0^hµ_0J_xz dz$ per la parte interna.

Fino ad ora ho sempre dovuto applicare il teorema di ampere a fili rettilinei con sezione cilindrica,quindi non capisco adesso cosa va fatto..
In particolare ho da calcolare $int vec(B)_y* dvec(s) = B*S$
e $mu_0i =int J_x dV = J_x V$

In questo caso la linea chiusa $S$ e il volume $V$ quali sarebbero?

[mgrau]

Il flusso di corrente produce, all'esterno dei piani, un campo $B$ costante, e la metà superiore della spira è concatenata con questo (la parte $B_y=µ_0J_xh$ per $z>h$).
All'interno dei piani invece il campo $B$ varia linearmente con $z$ (è nullo per $z=0$ e ha versi opposti per $z>0$ e $z<0$) (E' un po' quel che succede nel caso di un filo cilindrico percorso da corrente: il campo $B$ all'interno del filo è proporzionale alla distanza dal centro)
La metà interiore della spira, quella con $z<h$ è concatenata con questo campo (la parte $B_y=µ_0J_xz$ per $z<h$)

Provo a fare un disegno che chiarisca un po' le cose... spero di non peggiorare la situazione...

[BigDummy]

Ti ringrazio mgrau.
Trovo davvero complicata questa configurazione, comunque ora ragiono un po' sul disegno e su quello che hai detto..
Eventualmente riscrivo!